قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

التسلسلات والأنماطتسلسلات خاصة

وقت القراءة: ~45 min

بالإضافة إلى التسلسل الحسابة و الهندسي ، و أرقام فيبوناتشي و أرقام مجسمة ، فهناك عدد لا يحصى من التسلسلات المثيرة للاهتمام التي لا تتبع متشابهة نمط عادي.

ألأعداد الأولية

أحد الأمثلة التي رأيتها من قبل هي أرقام الأولية. نقول أن الرقم أولي إذا لم يكن لديه عوامل .

إليك أول عدد قليل من الأعداد الأولية:

2, 3, 5, 7, 11, , , , …

للأسف ، لا تتبع الأعداد الأولية نمطًا بسيطًا أو صيغة تعاودية. في بعض الأحيان تظهر مباشرة بجوار بعضها البعض (تسمى هذه التوائم الأولية) ، وأحيانًا توجد فجوات كبيرة بينهما. يبدو أنها موزعة بشكل عشوائي تقريبا! لا تحتوي الأعداد الأولية أيضًا على تمثيل هندسي بسيط مثل مثلث أو أرقام مربعة ، ولكن مع القليل من العمل يمكننا الكشف عن أنماط مثيرة للاهتمام:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

إذا شطبنا جميع مضاعفات الأعداد الصحيحة الصغيرة ، يجب أن تكون جميع الأرقام المتبقية أولية. تسمى هذه الطريقة منخل إراتوستينس.

إذا رسمنا مخططًا يزيد بمقدار 1 كلما كان هناك رقم أولي ، نحصل على وظيفة "متدرجة" بخصائص رائعة.

يمكنك معرفة المزيد عن هذه الخصائص وغيرها من الخصائص للأرقام الأولية في دورتنا حول القسمة والأعداد. هم من أهم المفاهيم وأكثرها غموضا في الرياضيات!

أرقام مثالية

أرقام مثالية لتحديد ما إذا كان الرقم أوليًا ، يجب علينا العثور على جميع عوامله. عادةً ما نقوم بضرب هذه العوامل لاستعادة الرقم الأصلي ، ولكن دعنا نرى ما يحدث إذا أضفنا جميع عوامل الرقم (باستثناء الرقم نفسه):

NumberFactorsSum of Factors
5
1
1
6
1
2
3
6
7
1
1
8
1
2
4
7
9
1
3
4
10
1
2
5
11
1
12
1
2
3
4
6
13
1
14
1
2
7
15
1
3
5
16
1
2
4
8
17
1
18
1
2
3
6
9

دعنا نقارن هذه الأرقام بمجموع عواملها:

بالنسبة لمعظم الأرقام ، يكون مجموع عوامله نفسها. تسمى هذه الأرقام أرقام ناقصة.

بالنسبة لعدد قليل من الأرقام ، يكون مجموع عوامله أكبر من نفسه. تسمى هذه الأرقام أرقام وفيرة.

يحتوي رقم واحد فقط في القائمة أعلاه على مجموعة عوامل تساوي نفسها: . وهذا ما يسمى رقمًا مثاليًا.

الرقم المثالي التالي هو 28 ، لأنه إذا جمعنا جميع عوامله نحصل على 1+2+4+7+14=28. بعد ذلك ، تصبح الأرقام المثالية أكثر ندرة:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …

لاحظ أن كل هذه الأرقام . اتضح أنها كلها أيضًا أرقام مثلث!

تمت دراسة الأرقام المثالية لأول مرة من قبل علماء الرياضيات اليونانيين القدماء مثل إقليدس ، فيثاغورس و نيكوماكس ، منذ أكثر من 2000 عام. قاموا بحساب الأرقام القليلة القليلة الأولى ، وتساءلوا عما إذا كان هناك أي فردي. اليوم ، استخدم علماء الرياضيات أجهزة الكمبيوتر للتحقق من أول 10 1500 رقم (وهذا 1 متبوعًا بـ 1500 أصفار) ، ولكن دون جدوى: كل الأرقام المثالية التي وجدوها كانت حتى. حتى يومنا هذا ، لا يزال من غير المعروف ما إذا كان هناك أي أرقام مثالية فردية ، مما يجعلها أقدم مشكلة لم يتم حلها في جميع الرياضيات!

إقليدس الإسكندرية

تسلسل هيلستون

معظم التسلسلات التي رأيناها حتى الآن لها قاعدة أو نمط واحد. ولكن لا يوجد سبب يمنعنا من الجمع بين عدة صيغ مختلفة - على سبيل المثال صيغة تعاودية مثل هذه:

If xn is even:xn+1=xn/2
If xn is odd:xn+1=3xn+1

فلنبدأـ x1=5 ونرى ما سيحدث:

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

يبدو أنه بعد بضعة مصطلحات ، يصل التسلسل إلى "دورة ": 4 ، 2 ، 1 ستستمر في التكرار مرارًا وتكرارًا إلى الأبد. بالطبع ، كان بإمكاننا اختيار نقطة بداية مختلفة ، مثل ${n}. ثم سيبدو التسلسل على النحو التالي:

, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

يبدو أن طول التسلسل يختلف كثيرًا ، ولكنه سينتهي دائمًا بدورة 4 ، 2 ، 1 - بغض النظر عن الرقم الأول الذي نختاره. يمكننا حتى تصور شروط التسلسل في الرسم البياني:

Start value:${n}

لاحظ كيف تنتهي بعض نقاط البداية بسرعة كبيرة ، بينما تأخذ نقاط أخرى (مثل أو ) أكثر من مائة خطوة قبل أن تصل إلى النقاط الأربع ، 2 ، 1 دورة.

تسمى جميع التسلسلات التي تتبع هذه الصيغة العودية تسلسلات هيلستون ، لأنها تبدو وكأنها تتحرك بشكل عشوائي لأعلى ولأسفل قبل الوصول إلى دورة 4 ، 2 ، 1 - تمامًا مثل حبات البَرَد التي تتحرك لأعلى و في سحابة قبل أن تصطدم بالأرض.

في عام 1937 ، اقترح عالم الرياضيات لوثار كولاتز أن كل تسلسل من بَرَد ينتهي في نهاية المطاف بدورة 4 ، 2 ، 1 - مهما كانت قيمة البداية التي تختارها. لقد تحققت بالفعل من بعض نقاط البداية أعلاه ، وجربت أجهزة الكمبيوتر بالفعل جميع الأرقام حتى 1020 - أي 100 مليار مليار أو 1 متبوعًا بعشرين أصفار.

ومع ذلك ، هناك عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة. من المستحيل التحقق من كل واحد منهم ، ولم يتمكن أحد من العثور على إثبات يعمل للجميع.

تمامًا مثل البحث عن الأرقام المثالية الفردية ، لا تزال هذه مشكلة مفتوحة في الرياضيات. من المدهش أن هذه الأنماط البسيطة للتسلسل يمكن أن تؤدي إلى أسئلة غامضت حتى أفضل علماء الرياضيات في العالم لعدة قرون!

تسلسل الشكل والقل

في ما يلي تسلسل آخر مختلف قليلاً عن كل التسلسلات التي رأيتها أعلاه. هل يمكنك العثور على النمط؟

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …

يُطلق على هذا التسلسل تسلسل الشكل والقول ، والنمط هو بالضبط ما يقوله الاسم: تبدأ بـ 1 ، وكل مصطلح يلي هو ما تحصل عليه إذا "قرأت بصوت عالٍ" السابق. هنا مثال:

هل يمكنك الآن العثور على المصطلحات التالية؟

… ، 312211 ، ، ، ...

غالبًا ما يتم استخدام هذا التسلسل كألغاز لرحلة علماء الرياضيات - لأن النمط يبدو غير رياضي تمامًا. ومع ذلك ، كما اتضح ، فإن التسلسل له العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام. على سبيل المثال ، ينتهي كل مصطلح بالرقم ، ولا يتم استخدام أي رقم أكبر من .

اكتشف عالم الرياضيات البريطاني جون كونواي أنه ، بغض النظر عن الرقم الذي تختاره كقيمة ابتدائية ، سينقسم التسلسل في النهاية إلى "أقسام" مميزة لم تعد تتفاعل مع بعضها البعض. أطلق كونواي على هذا اسم نظرية الكونية ، وأطلق على الأقسام المختلفة باستخدام العناصر الكيميائية هيدروجين ، هيليوم ، ليثيوم ،… ، حتى بلوتونيوم.

اختبار التسلسل

لقد رأيت الآن تسلسلات رياضية مختلفة لا تعد ولا تحصى - بعضها يعتمد على أشكال هندسية ، وبعضها يتبع صيغ محددة ، والبعض الآخر يبدو أنه يتصرف بشكل عشوائي تقريبًا.

في هذا الاختبار يمكنك الجمع بين جميع معلوماتك حول التسلسلات. هناك هدف واحد: البحث عن النمط وحساب المصطلحين التاليين!

Find the next number

7, 11, 15, 19, 23, 27, , , … نمط: دائما +4

11, 14, 18, 23, 29, 36, , , … نمط: +3, +4, +5, +6

3, 7, 6, 10, 9, 13, , , … نمط: +4, –1, +4, –1

2, 4, 6, 12, 14, 28, , , … نمط: ×2, +2, ×2, +2

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , … نمط: أرقام فيبو ناتشي

27, 28, 30, 15, 16, 18, , , … نمط: +1, +2, ÷2, +1, +2, ÷2

1, 9, 25, 49, 81, 121, , , … نمط: أرقام مربعة فرذية