قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

التسلسلات والأنماطمقدمة

وقت القراءة: ~25 min

يهتم العديد من المهن التي تستخدم الرياضيات بجانب معين - إيجاد الأنماط ، والقدرة على التنبؤ بالمستقبل. وفيما يلي بعض الأمثلة على ذلك:

في العقد الماضي ، بدأت أقسام الشرطة حول العالم في الاعتماد بشكل أكبر على الرياضيات. يمكن أن تستخدم الخوارزميات الخاصة بيانات الجرائم السابقة للتنبؤ بموعد ومكان وقوع الجرائم في المستقبل. على سبيل المثال ، ساعد نظام PredPol (وهو اختصار لـ "الشرطة التنبؤية") على تقليل معدل الجريمة في أجزاء من لوس أنجلوس بنسبة %12!

اتضح أن زلازل تتبع أنماطًا مماثلة للجرائم. مثلما قد تؤدي جريمة واحدة إلى الانتقام ، قد يؤدي الزلزال إلى حدوث هزات ارتدادية. في الرياضيات ، يُطلق على هذا "العمليات المثيرة الذاتية" ، وهناك معادلات تساعد في التنبؤ بموعد حدوث المرحلة التالية.

ينظر المصرفيون أيضًا إلى البيانات التاريخية لأسعار الأسهم وأسعار الفائدة وأسعار صرف العملات لتقدير كيفية تغير الأسواق المالية في المستقبل. القدرة على التنبؤ بما إذا كانت قيمة السهم سترتفع أو تنخفض يمكن أن تكون مربحة للغاية!

يستخدم علماء الرياضيات المحترفون خوارزميات معقدة للغاية للعثور على جميع هذه الأنماط وتحليلها ، لكننا سنبدأ بشيء أكثر بساطة.

تسلسلات بسيطة

في الرياضيات ، يعد تسلسل تسلسل سلسلة من الأرقام (أو كائنات أخرى) تتبع عادة نمطًا معينًا. العناصر الفردية في تسلسل تسمى مصطلحات.

فيما يلي بعض الأمثلة عن التسلسلات. هل يمكنك العثور على أنماطهم وحساب المصطلحين التاليين؟

3, 6, 9, 12, 15, , … نمط: أضف 3 إلي الرقم السابق للحصول علي الرقم التالي

4, 10, 16, 22, 28, , , … نمط: أضف 6 إلي الرقم السابق للحصول علي الرقم التالي

3, 4, 7, 8, 11, , , … نمط: بالتناوب أضف 1 و أضف 3 إليالرقم السابق للحصول على الرقم التالي

1, 2, 4, 8, 16, , , … نمط: أضرب الرقم السابق ب 2 للحصول على الرقم التالي

النقاط (...) قي النهايةتعني ببساطة أن التساسل يمكن أن يستمر إلى الأبد. عند الإشارة إلى تسلسلات مثل هذه في الرياضيات، فإننا غالبا ما نمثل كل مصطلح بمتغير جاص:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, 

يُطلق على الرقم الصغير بعد x اسم منخفض ، ويشير إلى موضع المصطلح في التسلسل. هذا يعني أنه يمكننا تمثيل الحد n في التسلسل بـ .

أرقام المثلثة و المربعة

لا يجب أن تكون التسلسلات في الرياضيات أرقامًا دائمًا. فيما يلي تسلسل يتكون من أشكال هندسية - مثلثات ذات حجم متزايد:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

triangle-4

triangle-5

triangle-6

في كل خطوة ، نقوم بإضافة صف آخر إلى المثلث السابق. كما يزداد طول هذه الصفوف الجديدة بمقدار واحد في كل مرة. هل يمكنك رؤية النمط؟

1, 3+2, 6+3, 10+4, 15+5, 21+6 +7, +8, …

يمكننا أيضًا وصف هذا النمط باستخدام صيغة خاصة:

xn = xn1 + n

للحصول على رقم المثلث n ، نأخذ رقم المثلث السابق ونضيف n. على سبيل المثال ، إذا كانت n = ${n} ، تصبح الصيغة x${n} = x ${n-1} + ${n}.

الصيغة التي تعبر عن xn كدالة للمصطلحات السابقة في التسلسل تسمى صيغة متكررة. طالما أنك تعرف في التسلسل ، يمكنك حساب جميع المصطلحات التالية.


تسلسل آخر يتكون من أشكال هندسية هو الأرقام المربعة. يتكون كل مصطلح من المربعات الكبيرة المتزايدة:

1

square-1

4

square-2

9

square-3

square-4

square-5

square-6

بالنسبة لأرقام المثلث ، وجدنا صيغة تعاودية تخبرك بالفترة التالية من التسلسل كدالة لمصطلحاتها السابقة. بالنسبة للأرقام المربعة ، يمكننا أن نفعل ما هو أفضل: صيغة تخبرك بالمصطلح n مباشرة ، دون الحاجة أولاً إلى حساب جميع المصطلحات السابقة:

xn =

وهذا ما يسمى صيغة صريحة. يمكننا استخدامه ، على سبيل المثال ، لحساب أن الرقم المربع الثالث عشر هو ، دون إيجاد أول 12 رقمًا مربعًا.


دعونا نلخص كل التعريفات التي رأيناها حتى الآن:

التسلسل عبارة عن قائمة بالأرقام أو الأشكال الهندسية أو الكائنات الأخرى التي تتبع نمطًا معينًا. العناصر الفردية في التسلسل تسمى مصطلحات ، وتمثلها متغيرات مثل xn.

تخبرك الصيغة العودية للتسلسل بقيمة الحد n كدالة . عليك أيضًا تحديد المصطلح الأول (المصطلحات).

تخبرك صيغة صريحة للتسلسل بقيمة الحد n كدالة ، دون الرجوع إلى مصطلحات أخرى في التسلسل.

تصوير تسلسل الحركة

في الأقسام التالية ، ستتعرف على العديد من التسلسلات الرياضية المختلفة والأنماط المدهشة والتطبيقات غير المتوقعة.

أولاً ، مع ذلك ، فلنلقِ نظرة على شيء مختلف تمامًا: تصوير تسلسل الحركة. يلتقط المصور العديد من اللقطات بتتابع سريع ، ثم يدمجها في صورة واحدة:

هل يمكنك أن ترى كيف يشكل المتزلج سلسلة؟ هذا النمط ليس إضافة أو ضرب ، بل هو تحويل هندسي تحويل. بين خطوات متتالية ، يتم ترجمة المتزلج و .

في ما يلي بعض الأمثلة على تصوير تسلسل الحركة للتمتع الخاص بك: