قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

التسلسلات والأنماطأرقام توضيحية

وقت القراءة: ~20 min

إن اسم التسلسل الهندسي مربك للغاية ، لأنه لا علاقة له بالهندسة. في الواقع ، تم تطوير الاسم قبل مئات السنين ، عندما فكر علماء الرياضيات في الضرب و الجذور التربيعية بطريقة هندسية أكثر.

ومع ذلك ، هناك العديد من التسلسلات الأخرى التي تستند إلى أشكال هندسية معينة - بعضها شاهدته بالفعل في المقدمة. غالبًا ما تسمى هذه التسلسلات أرقامًا رمزية ، وسنلقي نظرة فاحصة على بعضها في هذا القسم.

أرقام المثلثة

يتم إنشاء أرقام المثلثة من خلال إنشاء مثلثات ذات حجم أكبر تدريجيًا:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

لقد رأيت بالفعل الصيغة العودية لأرقام المثلثة: xn= .

ليس من قبيل الصدفة أن يكون هناك دائمًا 10 دبابيس عند البولينج أو 15 كرة عند لعب البلياردو: كلاهما أرقام مثلث!

لسوء الحظ ، فإن الصيغة العودية ليست مفيدة جدًا إذا أردنا العثور على رقم المثلث 100 أو 5000 ، دون حساب جميع الأرقام السابقة أولاً. ولكن ، كما فعلنا بالتسلسلات الحسابية والهندسية ، يمكننا محاولة إيجاد صيغة صريحة لأرقام المثلث.

يتوفر قريبًا: إثبات متحرك لصيغة رقم المثلث

يبدو أن أرقام المثلث تظهر في كل مكان في الرياضيات ، وستراها مرة أخرى طوال هذه الدورة. إحدى الحقائق المثيرة للاهتمام بشكل خاص هي أنه يمكن كتابة أي عدد صحيح كمجموع ثلاثة أرقام مثلث على الأكثر:

${n}

=

+

+

حقيقة أن هذا يعمل مع جميع الأعداد الصحيحة تم إثباته لأول مرة في عام 1796 من قبل عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس - في سن 19!

Problem Solving

ما هو مجموع أول 100 عدد صحيح؟ وبعبارة أخرى ، ما هي قيمة

1+2+3+4+5++97+98+99+100؟

بدلاً من إضافة كل شيء يدويًا ، هل يمكنك استخدام أرقام المثلثة لمساعدتك؟ ماذا عن مجموع أول 1000 عدد صحيح موجب؟

أرقام مربعة ومضلعة

تسلسل آخر يعتمد على الأشكال الهندسية هو أرقام المربعة:

1, 4+3, 9+5, 16+7, +9, +11, +13, +15, …

يمكنك حساب الأرقام هي هذا التسلسل عن طريق تربيع كل رقم صحيح (12 ، 22 ، 32 ،…) ، ولكن اتضح أن هناك نمطًا آخر: الاختلافات بين الأرقام المربعة المتتالية هي بترتيب متزايد!

يصبح سبب هذا النمط واضحًا إذا رسمنا مربعًا بالفعل. تضيف كل خطوة صفًا وعمودًا واحدًا. يبدأ حجم هذه "الزوايا" عند 1 ويزداد بمقدار 2 في كل خطوة - وبالتالي تشكيل تسلسل الأرقام الفردية.

وهذا يعني أيضًا أن الرقم المربع n هو مجرد مجموع أول رقم فردي! على سبيل المثال ، مجموع الأرقام الفردية الستة الأولى هو

1+3+5+7+9+11= .

1 3 5 7 9 11 13

بالإضافة إلى ذلك ، كل رقم مربع هو أيضًا مجموع أرقم مثلثة متتاليين. على سبيل المثال ، ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}. هل يمكنك أن ترى كيف يمكننا تقسيم كل مربع على طول قطره إلى مثلثين؟

x=

بعد المثلث والأرقام المربعة ، يمكننا الاستمرار في استخدام مضلعات أكبر. تسمى تسلسلات الأرقام الناتجة أرقام متعددة الأضلاع.

على سبيل المثال ، إذا استخدمنا المضلعات ذات أضلاع ${k} ، نحصل على تسلسل ${polygonName(k)} أرقام.

هل يمكنك العثور على صيغ تعاودية وصريحة للرقم متعدد الأضلاع n الذي له جوانب k؟ وهل تلاحظ أي أنماط أخرى مثيرة للاهتمام للمضلعات الكبيرة؟

رباعي السطوح والأرقام المكعبة

بالطبع ، ليس علينا أيضًا أن نقتصر على الأشكال والأنماط ثنائية الأبعاد. يمكننا تكديس الكرات لتشكيل أهرامات صغيرة ، تمامًا مثل كيفية تكديس البرتقال في السوبر ماركت:

1

20

35

غالبًا ما يطلق علماء الرياضيات هذه الأهرامات tetrahedra ، والتسلسل الناتج أرقام رباعي السطوح.

قريبًا: المزيد عن أرقام رباعي السطوح ، وأرقام مكعبة ، و 12 يومًا من عيد الميلاد.