قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

التسلسلات والأنماطأرقام فيبوناتشي

وقت القراءة: ~40 min

تخيل أنك تلقيت زوجًا من الأرانب الصغيرة ، ذكرا وأنثى. هم أرانب خاصة جدًا ، لأنهم لا يموتون أبدًا ، والأنثى تلد زوجًا جديدًا من الأرانب مرة واحدة كل شهر بالضبط (دائمًا زوج آخر من الذكور والإناث).

1
1
2
3
5
8
قي الشهر الأول، تكونالأرانب صغيرة جدا و لا يمكنها فعل الكثير - لكنها تنمو بسرعة كبيرة.
بعد شهر واحد، تنمو الأرانب و يمكن أن تبدأ في التزاوج ...
... وبعد شهر آخر، سوف يلدون أول زوج من أولادهم. لديك الأن زوجان من الأرانب.
في السهر التالي، سينجب زوج الأرانب زوجا آخر. في غضون ذمك، كبر الزوج الأول من الأطفال. لديك الأن ثلاثة أزواج في المجموع.
في الشهر الخامس، سينجب زوج الأرانب الأصلي زوجا جديدا. فى الوقت نفسه، أصبح أول زوج من أطفااهما أكبر سنا بما يكفي لأنجاب الأحفاد. لديك الآن خمسة أزواج من الأرانب.
في الشهر السادس، هناك ثلاثة أزواج آخرينيلدون: الزوج الأصلي، بالأضافة إلى أول زوجين أو أطفال.

في الشهر التالي ، سيكون لديك 13 زوجًا من الأرانب: 8 أزواج من الشهر السابق ، بالإضافة إلى 5 مجموعات جديدة من الأطفال. هل يمكنك اكتشاف نمط في هذا التسلسل؟

عدد الأرانب في شهر معين هو . بمعنى آخر ، يجب عليك إضافة المصطلحين _السابقين في التسلسل للحصول على المصطلح التالي. يبدأ التسلسل بقطعتين ، و الصيغة العودية هي

xn = xn1 + xn2

هل يمكنك حساب عدد الأرانب بعد بضعة أشهر أخرى؟

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

بعد 12 شهرًا ، سيكون لديك 144 زوجًا من الأرانب!

يُطلق على تسلسل الأرقام هذا تسلسل فيبوناتشي ، الذي يحمل اسم عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي.

عندما ولد فيبوناتشي عام 1175 ، كان معظم الناس في أوروبا لا يزالون يستخدمون نظام الأرقام الرومانية للأرقام (مثل IVX أو MCMLIV). كان والد فيبوناتشي تاجرًا ، وسافروا معًا إلى شمال إفريقيا والشرق الأوسط. هناك تعلم فيبوناتشي أولاً نظام الأرقام العربية.

عندما عاد إلى إيطاليا ، كتب فيبوناتشي كتابًا بعنوان Liber Abaci (اللاتينية "كتاب الحسابات") ، حيث قدم لأول مرة الأرقام العربية الجديدة للتجار الأوروبيين. لقد حققوا نجاحًا فوريًا - وما زلنا نستخدمهم اليوم.

صورة ليوناردو فيبوناتشي

في إحدى صفحات كتابه ، حقق أيضًا في أنماط تكاثر الأرانب - ولهذا السبب تم تسمية أرقام فيبوناتشي باسمه.

صفحات من فيبوناتشي Liber Abaci

بالطبع ، أرقام فيبوناتشي ليست هي الطريقة التي يملأ بها الأرانب في الواقع في الحياة الحقيقية. لا تمتلك الأرانب ذكورًا واحدًا ونسلًا واحدًا كل شهر ، ولم نحسب سبب وفاة الأرانب في نهاية المطاف.

ولكن اتضح أن هناك العديد من الأماكن الأخرى في الطبيعة حيث تظهر أرقام فيبوناتشي: على سبيل المثال اللوالب في النباتات. هل يمكنك حساب عدد اللوالب الموجودة في كل اتجاه؟

Original
Clockwise
Countercw.

يحتوي مخروط الصنوبر هذا على لوالب في اتجاه عقارب الساعة و لوالب في عكس اتجاه عقارب الساعة.

Original
Clockwise
Countercw.

يحتوي عباد الشمس هذا على 34 لولبًا باتجاه عقارب الساعة و 55 لولبًا بعكس اتجاه عقارب الساعة.

في كلتا الحالتين ، أعداد اللوالب هي أرقام فيبوناتشي متتالية. وينطبق الشيء نفسه على العديد من النباتات الأخرى: في المرة القادمة التي تخرج فيها ، احسب عدد البتلات في الزهرة أو عدد الأوراق على الساق. في كثير من الأحيان ستجد أنها أرقام فيبوناتشي!

بالطبع ، هذه ليست مجرد مصادفة. هناك سبب مهم لماذا تحب الطبيعة تسلسل فيبوناتشي ، والذي ستتعلم المزيد عنه لاحقًا.

Male
Female

تظهر أرقام فيبوناتشي أيضًا في مجموعات نحل العسل.

يوجد في كل مستعمرة نحل ملكة واحدة تضع الكثير من البيض. إذا تم تخصيب بيضة بواسطة نحلة ذكر ، فإنها تفقس في نحلة أنثى. إذا لم يتم تخصيبها ، فإنها تفقس في نحلة ذكر (تسمى طائرة بدون طيار).

وهذا يعني أن النحل لدى الإناث ، بينما لدى النحل الذكور فقط .

إذا رسمنا شجرة النحل ، فإن عدد الآباء والأجداد والأجداد والأجيال السابقة دائمًا ما يكون أرقام فيبوناتشي!

في بعض الأحيان ، تتغذى النحل الشابة على طعام خاص يسمى "غذاء ملكات النحل". في هذه الحالة ، يتحولون إلى ملكات وسيطيرون بعيدًا لبدء خلية جديدة.

النسبة الذهبية

تمامًا مثل المثلث و الأرقام المربعة ، والتسلسلات الأخرى التي رأيناها من قبل ، يمكن تصور تسلسل فيبوناتشي باستخدام نمط هندسي:

1 1 2 3 5 8 13 21
نبدأ بمربعين صغيرين من الحجم 1.
بعد ذلك، نضيف مربعا جديدا من الحجم 2 لتشكيل مستطيل أكبر.
بعد ذلك، نضيف مربعا بحجم 3 لتشكيل مستطيل أكبر.
المربع التالي له حجم 5. هل ترى أننا نعيد إنشاد أرقام فيبوناتشي?
أذا واصلنا إضافة المربعات، فسيكون لها حجم 8, 13, 21, ....
ربما لاحظت أنه مع تكبر المستطيلات، يبدو أنهاتبدأ في "الدوران" للخارج. يمكننا حتي تصور ذلك من خلال رسم حلزونى مثالى يربط زوايا المربعات.

في كل خطوة ، تشكل المربعات مستطيلًا أكبر. عرضه وارتفاعه دائمًا رقمان فيبوناتشي متتاليان. نسبة العرض إلى الارتفاع للمستطيل هي نسبة عرضه وارتفاعه:

golden-1

21 = 2

golden-2

32 = 1.5

golden-3

53 = 1.666 ...

golden-4

85 = 1.6

golden-5

= 1.625

golden-6

= 1.62…

لاحظ كيف ، عندما نضيف المزيد والمزيد من المربعات ، يبدو أن نسبة العرض إلى الارتفاع تقترب من رقم معين حول 1.6. يُسمى هذا الرقم النسبة الذهبية ويمثل عادةً بالحرف اليوناني φ ("phi"). قيمتها الدقيقة

1+52=1.61803398875

يعتقد الكثير من الناس أن النسبة الذهبية ممتعة بشكل خاص من الناحية الجمالية. لهذا السبب يتم استخدامه غالبًا من قبل الفنانين والمهندسين المعماريين - كما هو الحال في هذين المثالين:

قيل أن النحات اليوناني فيدياس استخدم النسبة الذهبية عند تصميم بارثينون في أثينا. الحرف الأول من اسمه φ هو الرمز الذي نستخدمه الآن للنسبة الذهبية.

سر العشاء الأخير للفنان الإسباني سلفادور دالي ، هو واحد من العديد من اللوحات ذات النسبة الذهبية. في الخلفية ، يمكنك أيضًا مشاهدة دوديكاهيدرون كبير.

يمكننا تقريب النسبة الذهبية من خلال رقمين متتاليين من أرقام فيبوناتشي.

ومع ذلك ، اتضح أنه لا يمكن كتابة القيمة الدقيقة لـ φ ككسر بسيط: فهي رقم غير منطقي ، تمامًا مثل π و2 وبعض الأرقام الأخرى التي رأيتها من قبل.

لوالب فيبوناتشي

توضح النسبة الذهبية سبب ظهور أرقام فيبوناتشي في الطبيعة ، مثل عباد الشمس ومخروط الصنوبر الذي رأيته في بداية هذا القسم.

ينمو هذان النباتان للخارج من مركزهما (جزء من النبات يسمى meristem). عند إضافة بذور أو أوراق أو بتلات جديدة ، فإنها تدفع البذور الموجودة إلى الخارج.

حرك المنزلق على اليمين لتصور كيف ينمو النبات. لاحظ كيف تتم إضافة كل ورقة في دوران مختلف عن الدوران السابق. دائمًا ما تكون الزاوية بين ورقتين متتاليتين هي نفسها.

من المهم للزهور اختيار زاوية مناسبة: يجب أن تكون الأوراق أو البذور متباعدة بشكل متساوٍ تقريبًا حتى تحصل على أكبر قدر من ضوء الشمس والمغذيات. في الرسم البياني أدناه ، يمكنك استكشاف الشكل الذي قد تبدو عليه عباد الشمس بزوايا مختلفة بين بذورها:

إذا كانت الزاوية 0 ° ، فسوف تنمو جميع البذور في صف واحد طويل بعيدًا عن المركز.
إذا كانت الزاوية 12 لدوران كامل (180 درجة) ، فستتبادل البذور بين "ذراعيْن" منفصلين يبتعدان عن المركز.
إذا كان الدوران نسبة كسرية أخرى تبلغ 360 درجة ، على سبيل المثال 25 أو 13 أو 38 ، فسيكون عدد "الأسلحة" هو نفسه لهذا الكسر.
للأسف "الأسلحة" سيئة ، لأنها تعني أن البذور غير موزعة بالتساوي: كل المساحة بين الذراعين تضيع. ولكن إذا لم تعمل الأرقام المنطقية ، فلنجرّب الأرقام غير المنطقية!
أحد الأمثلة لرقم غير منطقي هو π. ولكن إذا كانت الزاوية بين البذور 1π بزاوية 360 درجة ، فلا يزال يبدو أننا نحصل على الأسلحة: 22 منها. ذلك لأن الكسر 227=3.1429 هو تقريب جيد جدًا لـ π. ما نحتاجه حقًا هو رقم غير منطقي لا يمكن تقريبه تقريبًا بواسطة كسر بسيط.
اتضح أن النسبة الذهبية هي: "الأكثر غير منطقية" من جميع الأرقام غير المنطقية. إذا كانت الزاوية بين البذور 1φ بزاوية 360 درجة ، فيبدو أنها متباعدة تمامًا. وهذه بالضبط هي الزاوية التي تستخدمها النباتات حول العالم.

قد تتذكر من الأعلى أن نسب أرقام فيبوناتشي المتتالية تقترب أكثر وأكثر من النسبة الذهبية - ولهذا السبب ، إذا كنت تحسب عدد اللوالب في النبات ، فغالبًا ما ستجد رقم فيبوناتشي.

من المهم أن نتذكر أن الطبيعة لا تعرف عن أرقام فيبوناتشي. لا تستطيع الطبيعة أيضًا حل المعادلات لحساب النسبة الذهبية - ولكن على مدار ملايين السنين ، كان للنبات الكثير من الوقت لتجربة زوايا مختلفة واكتشاف أفضلها.

تريد النباتات والحيوانات دائمًا النمو بأكثر الطرق كفاءة ، ولهذا السبب تمتلئ الطبيعة بالأنماط الرياضية المنتظمة.

فيبوناتشوس

حتى الآن ، استخدمنا فقط المعادلة العودية لأرقام فيبوناتشي. في الواقع هناك معادلة صريحة أيضًا - ولكن من الصعب العثور على:

Fn=151+52n152n

يمكننا أيضًا محاولة اختيار نقاط بداية مختلفة لأرقام فيبوناتشي. على سبيل المثال ، إذا بدأنا بـ 2 ، 1 ، ... بدلاً من 1 ، 1 ، ... نحصل على تسلسل يسمى أرقام لوكاس.

اتضح أنه ، بغض النظر عن رقمي البدء اللذين تختارهما ، فإن التسلسلات الناتجة تشترك في العديد من الخصائص. على سبيل المثال ، تتقارب نسب المصطلحات المتتالية دائمًا تقارب تسلسل إلى النسبة الذهبية.

${a} ، ${b} ، ${a+b} ، ${a+2×b} ، ${2×a+3×b} ، ${3×a+5×b} ، ${5×a+8×b} ، ${8×a+13×b} ، ...

هناك العديد من الألغاز والأنماط والتطبيقات الأخرى المتعلقة بأرقام فيبوناتشي. إليك بعض الأمثلة التي يمكنك تجربتها بنفسك:

Problem solving

1. انقسام فيبوناتشي

(أ) ما هي أرقام فيبوناتشي حتى؟ هل هناك نمط حيث يتم وضعهم على طول التسلسل؟ هل يمكنك أن تشرح لماذا؟

(ب) أي أرقام فيبوناتشي قابلة للقسمة على 3 (أو قابلة للقسمة على 4)؟ ماذا تلاحظ؟


2. مبالغ فيبوناتشي

ماذا يحدث إذا جمعت أي ثلاثة أرقام متتالية في فيبوناتشي؟ هل يمكنك أن تشرح لماذا؟


3. سلالم فيبوناتشي

عند صعود الدرج ، يمكنني إما أن أخطو خطوة واحدة أو أقفز بخطوتين في كل مرة. هذا يعني أن هناك العديد من الاحتمالات المختلفة لكيفية صعود الدرج. على سبيل المثال ، إذا كانت هناك 5 خطوات ، فلدي 8 خيارات مختلفة:

كم عدد الخيارات للدرج مع 6 أو 7 أو 8 خطوات؟ هل يمكنك اكتشاف نمط؟ وكيف يرتبط هذا بأرقام فيبوناتشي؟

© FoxTrot, by Bill Amend