التسلسلات والأنماطأرقام فيبوناتشي

تخيل أنك تلقيت زوجًا من الأرانب الصغيرة ، ذكرا وأنثى. هم أرانب خاصة جدًا ، لأنهم لا يموتون أبدًا ، والأنثى تلد زوجًا جديدًا من الأرانب مرة واحدة كل شهر بالضبط (دائمًا زوج آخر من الذكور والإناث).

1

1

2

3

5

8

قي الشهر الأول، تكونالأرانب صغيرة جدا و لا يمكنها فعل الكثير - لكنها تنمو بسرعة كبيرة.

بعد شهر واحد، تنمو الأرانب و يمكن أن تبدأ في التزاوج ...

... وبعد شهر آخر، سوف يلدون أول زوج من أولادهم. لديك الأن زوجان من الأرانب.

في السهر التالي، سينجب زوج الأرانب زوجا آخر. في غضون ذمك، كبر الزوج الأول من الأطفال. لديك الأن ثلاثة أزواج في المجموع.

في الشهر الخامس، سينجب زوج الأرانب الأصلي زوجا جديدا. فى الوقت نفسه، أصبح أول زوج من أطفااهما أكبر سنا بما يكفي لأنجاب الأحفاد. لديك الآن خمسة أزواج من الأرانب.

في الشهر السادس، هناك ثلاثة أزواج آخرينيلدون: الزوج الأصلي، بالأضافة إلى أول زوجين أو أطفال.

في الشهر التالي ، سيكون لديك 13 زوجًا من الأرانب: 8 أزواج من الشهر السابق ، بالإضافة إلى 5 مجموعات جديدة من الأطفال. هل يمكنك اكتشاف نمط في هذا التسلسل؟ متابعة

عدد الأرانب في شهر معين هو مجموع الرقمين السابقينضعف الرقم السابق. _{span.reveal(when="blank-0")} بمعنى آخر ، يجب عليك إضافة المصطلحين السابقين في التسلسل للحصول على المصطلح التالي. يبدأ التسلسل بقطعتين ، و الصيغة العودية هي

xn = xn−1 + xn−2

هل يمكنك حساب عدد الأرانب بعد بضعة أشهر أخرى؟

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

بعد 12 شهرًا ، سيكون لديك 144 زوجًا من الأرانب!

يُطلق على تسلسل الأرقام هذا تسلسل فيبوناتشي ، الذي يحمل اسم عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي.

في إحدى صفحات كتابه ، حقق أيضًا في أنماط تكاثر الأرانب - ولهذا السبب تم تسمية أرقام فيبوناتشي باسمه.

بالطبع ، أرقام فيبوناتشي ليست هي الطريقة التي يملأ بها الأرانب في الواقع في الحياة الحقيقية. لا تمتلك الأرانب ذكورًا واحدًا ونسلًا واحدًا كل شهر ، ولم نحسب سبب وفاة الأرانب في نهاية المطاف.

ولكن اتضح أن هناك العديد من الأماكن الأخرى في الطبيعة حيث تظهر أرقام فيبوناتشي: على سبيل المثال اللوالب في النباتات. هل يمكنك حساب عدد اللوالب الموجودة في كل اتجاه؟

في كلتا الحالتين ، أعداد اللوالب هي أرقام فيبوناتشي متتالية. وينطبق الشيء نفسه على العديد من النباتات الأخرى: في المرة القادمة التي تخرج فيها ، احسب عدد البتلات في الزهرة أو عدد الأوراق على الساق. في كثير من الأحيان ستجد أنها أرقام فيبوناتشي!

بالطبع ، هذه ليست مجرد مصادفة. هناك سبب مهم لماذا تحب الطبيعة تسلسل فيبوناتشي ، والذي ستتعلم المزيد عنه لاحقًا.

النسبة الذهبية

تمامًا مثل المثلث و الأرقام المربعة ، والتسلسلات الأخرى التي رأيناها من قبل ، يمكن تصور تسلسل فيبوناتشي باستخدام نمط هندسي:

في كل خطوة ، تشكل المربعات مستطيلًا أكبر. عرضه وارتفاعه دائمًا رقمان فيبوناتشي متتاليان. نسبة العرض إلى الارتفاع للمستطيل هي نسبة عرضه وارتفاعه:

لاحظ كيف ، عندما نضيف المزيد والمزيد من المربعات ، يبدو أن نسبة العرض إلى الارتفاع تقترب من رقم معين حول 1.6. يُسمى هذا الرقم النسبة الذهبية ويمثل عادةً بالحرف اليوناني φ ("phi"). قيمتها الدقيقة

1+52=1.61803398875…

يعتقد الكثير من الناس أن النسبة الذهبية ممتعة بشكل خاص من الناحية الجمالية. لهذا السبب يتم استخدامه غالبًا من قبل الفنانين والمهندسين المعماريين - كما هو الحال في هذين المثالين:

قيل أن النحات اليوناني فيدياس استخدم النسبة الذهبية عند تصميم بارثينون في أثينا. الحرف الأول من اسمه φ هو الرمز الذي نستخدمه الآن للنسبة الذهبية.

سر العشاء الأخير للفنان الإسباني سلفادور دالي ، هو واحد من العديد من اللوحات ذات النسبة الذهبية. في الخلفية ، يمكنك أيضًا مشاهدة دوديكاهيدرون كبير.

يمكننا تقريب النسبة الذهبية من خلال قسمةجمعطرح رقمين متتاليين من أرقام فيبوناتشي.

ومع ذلك ، اتضح أنه لا يمكن كتابة القيمة الدقيقة لـ φ ككسر بسيط: فهي رقم غير منطقي ، تمامًا مثل π و2 وبعض الأرقام الأخرى التي رأيتها من قبل.

لوالب فيبوناتشي

من المهم للزهور اختيار زاوية مناسبة: يجب أن تكون الأوراق أو البذور متباعدة بشكل متساوٍ تقريبًا حتى تحصل على أكبر قدر من ضوء الشمس والمغذيات. في الرسم البياني أدناه ، يمكنك استكشاف الشكل الذي قد تبدو عليه عباد الشمس بزوايا مختلفة بين بذورها:

فيبوناتشوس

حتى الآن ، استخدمنا فقط المعادلة العودية لأرقام فيبوناتشي. في الواقع هناك معادلة صريحة أيضًا - ولكن من الصعب العثور على:

Fn=151+52n−1−52n

يمكننا أيضًا محاولة اختيار نقاط بداية مختلفة لأرقام فيبوناتشي. على سبيل المثال ، إذا بدأنا بـ 2 ، 1 ، ... بدلاً من 1 ، 1 ، ... نحصل على تسلسل يسمى أرقام لوكاس.

اتضح أنه ، بغض النظر عن رقمي البدء اللذين تختارهما ، فإن التسلسلات الناتجة تشترك في العديد من الخصائص. على سبيل المثال ، تتقارب نسب المصطلحات المتتالية دائمًا تقارب تسلسل إلى النسبة الذهبية.

${a} ، ${b} ، ${a+b} ، ${a+2×b} ، ${2×a+3×b} ، ${3×a+5×b} ، ${5×a+8×b} ، ${8×a+13×b} ، ...

هناك العديد من الألغاز والأنماط والتطبيقات الأخرى المتعلقة بأرقام فيبوناتشي. إليك بعض الأمثلة التي يمكنك تجربتها بنفسك: