قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

التسلسلات والأنماطمثلث باسكال

وقت القراءة: ~25 min

أدناه يمكنك أن ترى هرم عدد تم إنشاؤه باستخدام نمط بسيط: يبدأ بـ "1" واحد في الأعلي ، وكل خلية تالية هي مجموع الخليتين أعلاه مباشرة. حرك مؤشر الماوس فوق بعض الخلايا لترى كيف يتم حسابها ، ثم املأ الخلايا المفقودة:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
495
792
924
792
495
66
12
1

أظهر هذا الرسم البياني الصفوف الاثني عشر الأولى فقط ، ولكن يمكننا الاستمرار إلى الأبد ، بإضافة صفوف جديدة في الأسفل. لاحظ أن المثلث ، والذي يمكن أن يساعدك في حساب بعض الخلايا.

يسمى المثلث مثلث باسكال ، والذي سمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال. كان من أوائل علماء الرياضيات الأوروبيين الذين درسوا أنماطه وخصائصه ، ولكنه كان معروفًا للحضارات الأخرى قبل عدة قرون:

في عام 450 قبل الميلاد ، أطلق عالم الرياضيات الهندي بينغالا على المثلث "درج جبل ميرو" ، الذي سمي على اسم جبل هندوسي مقدس.

في إيران ، عُرفت باسم "مثلث الخيام" (مثلث خیام) ، والتي سميت باسم الشاعر والرياضي الفارسي عمر الخيام.

في الصين ، اكتشف عالم الرياضيات جيا شيان المثلث أيضًا. سميت باسم خليفته ، "مثلث يانغ هوي" (杨辉 三角).

يمكن إنشاء مثلث باسكال باستخدام نمط بسيط للغاية ، ولكنه مليء بأنماط وخصائص مدهشة. لهذا السبب فتنت علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم ، لمئات السنين.

البحث عن التسلسل

في الأقسام السابقة ، شاهدت تسلسلات رياضية مختلفة لا تعد ولا تحصى. اتضح أن العديد منها يمكن العثور عليه أيضًا في مثلث باسكال:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1

الأرقام في القطر الأول على كلا الجانبين هي .

الأرقام في القطر الثاني على كلا الجانبين هي .

الأرقام في القطر الثالث على كلا الجانبين هي .

الأرقام في القطر الرابع هي .

إذا قمت بتجميع كل الأرقام في صف واحد ، فستكون مجاميعها بمثابة تسلسل آخر: .

في كل صف يحتوي على رقم أولي في خليته الثانية ، تكون جميع الأرقام التالية من ذلك الرقم الأولي.

يسلط الرسم البياني أعلاه الضوء على الأقطار "الضحلة" بألوان مختلفة. إذا جمعنا الأرقام في كل قطر ، نحصل على .

بالطبع ، لكل من هذه الأنماط سبب رياضي يفسر سبب ظهوره. ربما يمكنك أن تجد بعضها!

سؤال آخر قد تطرحه هو عدد المرات التي يظهر فيها رقم في مثلث باسكال. من الواضح أن هناك عددًا لا نهائيًا من 1s ، واحد 2 ، وكل رقم آخر يظهر ، في القطر الثاني على كلا الجانبين.

تظهر أيضًا بعض الأرقام الموجودة في منتصف المثلث ثلاث أو أربع مرات. حتى أن هناك القليل منها الذي يظهر ست مرات: يمكنك رؤية كل من 120 و 3003 أربع مرات في المثلث أعلاه ، وستظهر مرتين إضافيتين في الصفين 120 و 3003 .

نظرًا لأن 3003 عبارة عن رقم مثلث ، فإنه يظهر فعليًا مرتين أخريين في الأقطار الثالثة من المثلث - مما يجعل إجمالي ثمانية مرات.

من غير المعروف ما إذا كانت هناك أرقام أخرى تظهر ثماني مرات في المثلث ، أو إذا كانت هناك أرقام تظهر أكثر من ثماني مرات. افترض عالم الرياضيات الأمريكي ديفيد سينجماستر أن هناك حدًا ثابتًا لعدد المرات التي يمكن أن تظهر فيها الأرقام في مثلث باسكال - ولكن لم يثبت ذلك بعد.

القسمة

بعض الأنماط في مثلث باسكال ليس من السهل اكتشافها. في الرسم البياني أدناه ، قم بتمييز جميع الخلايا حتى:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1

يبدو أن الرقم الزوجي في مثلث باسكال يشكل مثلثًا آخر أصغر .

يستغرق تلوين كل خلية يدويًا وقتًا طويلاً ، ولكن يمكنك هنا رؤية ما يحدث إذا كنت ستفعل ذلك للعديد من الصفوف. وماذا عن الخلايا القابلة للقسمة على أرقام أخرى؟

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1
1
19
171
969
3876
11628
27132
50388
75582
92378
92378
75582
50388
27132
11628
3876
969
171
19
1
1
20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
167960
125970
77520
38760
15504
4845
1140
190
20
1
1
21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
352716
293930
203490
116280
54264
20349
5985
1330
210
21
1
1
22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
646646
497420
319770
170544
74613
26334
7315
1540
231
22
1
1
23
253
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
1771
253
23
1
1
24
276
2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
2496144
1961256
1307504
735471
346104
134596
42504
10626
2024
276
24
1

رائع! تظهر الخلايا الملونة دائمًا في (باستثناء بعض الخلايا الفردية ، والتي يمكن رؤيتها كمثلثات بالحجم 1).

إذا واصلنا نمط الخلايا القابلة للقسمة على 2 ، نحصل على خلية مشابهة جدًا لمثلث سيربينسكي على اليمين. تسمى مثل هذه الأشكال ، التي تتكون من نمط بسيط يبدو أنه يستمر إلى الأبد مع صغره وأصغره ، فركتلات. سوف تتعلم المزيد عنها في المستقبل ...

Sierpinski Triangle

مثلث سيربينسكي

المعاملات ذات الحدين

هناك خاصية أخرى مهمة لمثلث باسكال يجب أن نتحدث عنها. لفهمها ، سنحاول حل نفس المشكلة بطريقتين مختلفتين تمامًا ، ثم نرى كيف ترتبط.

قريبًا