قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

المضلعات والمضلعاتالمواد الصلبة الأفلاطونية

وقت القراءة: ~35 min

في بداية هذه الدورة ، قمنا بتعريف المضلعات المنتظمة على أنها مضلعات "متماثلة" بشكل خاص ، حيث تكون جميع الجوانب والزوايا متشابهة. يمكننا القيام بشيء مماثل للعديد من الوجوه.

في متعدد الوجوه العادي ، تكون جميع الوجوه من نفس النوع من المضلع المنتظم ، ويقابل نفس العدد من الوجوه في كل قمة . تسمى Polyhedra مع هاتين الخاصيتين بالجوامد الأفلاطونية الصلبة ، التي سميت باسم الفيلسوف اليوناني أفلاطون .

إذن كيف تبدو المواد الصلبة الأفلاطونية - وكم منها موجودة؟ لإنشاء شكل ثلاثي الأبعاد ، نحتاج إلى وجوه على الأقل لمقابلتها في كل قمة. لنبدأ بشكل منتظم بأصغر مضلع منتظم: مثلثات متساوية الأضلاع:

إذا قمنا بإنشاء متعدد السطوح حيث تلتقي ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع في كل قمة ، نحصل على الشكل على اليسار. ويسمى رباعي الأسطح وله وجوه. ("Tetra" تعني "أربعة" في اليونانية).

إذا اجتمعت أربعة مثلثات متساوية الأضلاع في كل قمة ، نحصل على مادة صخر أفلاطونية مختلفة. يطلق عليه Octahedron وله وجوه. ("Octa" تعني "ثمانية" في اليونانية. تمامًا مثل "Octagon" تعني شكلًا ذا 8 جوانب ، "Octahedron" تعني مادة صلبة ذات 8 وجوه.)

إذا اجتمعت مثلثات في كل قمة ، نحصل على Icosahedron . لها . ("إيكوزا" تعني "عشرين" باللغة اليونانية).

إذا اجتمعت مثلثات في كل قمة ، يحدث شيء مختلف: نحصل ببساطة على ، بدلاً من متعدد الوجوه ثلاثي الأبعاد.

كما أن سبعة مثلثات أو أكثر في كل قمة لا تنتج أيضًا العديد من الأشكال المتعددة الوجوه: لا توجد مساحة كافية حول الرأس ، لتناسب العديد من المثلثات.

هذا يعني أننا وجدنا مواد صلبة أفلاطونية تتكون من مثلثات. دعنا ننتقل إلى المضلع المنتظم التالي: المربعات.

إذا اجتمعت مربعات في كل قمة ، نحصل على المكعب . تماما مثل النرد ، لديه وجوه. يُطلق على المكعب أحيانًا اسم _Hexahedron ، بعد الكلمة اليونانية "hexa" لكلمة "six"._

إذا اجتمعت مربعات في كل قمة ، نحصل على . وكما كان الحال من قبل ، لن تعمل خمسة مربعات أو أكثر.

بعد ذلك ، دعنا نجرب الخماسي المنتظم:

إذا اجتمعت خماسي في كل قمة ، نحصل على Dodecahedron . لها . ("Dodeca" تعني "اثنا عشر" باليونانية.)

كما كان من قبل ، أربعة خماسيات أو أكثر لأنه لا توجد مساحة كافية.

المضلع المنتظم التالي الذي يجب تجربته هو السداسيات:

إذا اجتمعت ثلاث سداسيات في كل قمة ، نحصل على الفور على . نظرًا لعدم وجود مساحة لأكثر من ثلاثة ، يبدو أنه لا توجد مواد صلبة أفلاطونية تتكون من سداسيات.

يحدث نفس الشيء أيضًا لجميع المضلعات المنتظمة ذات أكثر من ستة جوانب. إنهم لا يغطون الشمع ، وبالتأكيد لا نحصل على أي مضلعات ثلاثية الأبعاد.

هذا يعني أن هناك مواد صلبة أفلاطونية فقط! دعنا نلقي نظرة عليها جميعًا معًا:

رباعي السطوح

وجوه
رؤوس
حواف

مكعب

وجوه
القمم
حواف

المجسم الثماني

وجوه
رؤوس
حواف

الاثني عشري

وجوه
20 رأس
30 حواف

Icosahedron

وجوه
12 قمة
30 حواف

لاحظ كيف يتم عدد الوجوه والرؤوس بالنسبة للمكعبات والثماني السطوح ، وكذلك الاثني عشر والسطوح المتساقطة ، بينما عدد الحواف . تسمى هذه الأزواج من المواد الصلبة الأفلاطونية بمواد صلبة مزدوجة .

يمكننا تحويل متعدد الوجوه إلى ثنائيته ، عن طريق "استبدال" كل وجه برأس ، وكل رأس برأس. تظهر هذه الرسوم المتحركة كيف:

إن رباعي الأسطح ثنائي مع نفسه. نظرًا لأنه يحتوي على نفس العدد من الوجوه والرؤوس ، فإن تبديلها لن يغير أي شيء.

يعتقد أفلاطون أن جميع المواد في الكون تتكون من أربعة عناصر: الهواء والأرض والماء والنار. كان يعتقد أن كل عنصر يتوافق مع واحدة من المواد الصلبة الأفلاطونية ، في حين أن العنصر الخامس سيمثل الكون ككل. نعلم اليوم أن هناك أكثر من 100 عنصر مختلف يتكون من ذرات كروية ، وليس متعدد الوجوه.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

المواد الصلبة الأرخميدية

المواد الصلبة الأفلاطونية هي متعددة الوجوه بشكل خاص ، ولكن هناك عدد لا يحصى من الآخرين.

على سبيل المثال ، يجب أن تتكون المواد الصلبة الأرخميدية من مضلعات عادية ، ولكن يمكنك استخدام أنواع مختلفة متعددة. تم تسميتهم على اسم عالم رياضيات يوناني آخر ، أرخميدس من سيراكيوز ، وهناك 13 منهم:

مقطوع رباعي الأسطح
8 وجوه و 12 قمة و 18 حواف

Cuboctahedron
14 وجهًا ، 12 قمة ، 24 حافة

مكعب مبتور
14 وجهًا ، 24 رأسًا ، 36 حافة

مبتور ثماني
14 وجهًا ، 24 رأسًا ، 36 حافة

المعين
26 وجهًا ، 24 رأسًا ، 48 حافة

مقطوع مكعب
26 وجهًا ، 48 قمة ، 72 حافة

صراع مكعب
38 وجهًا ، 24 رأسًا ، 60 حوافًا

Icosidodecahedron
32 وجهًا ، 30 رأسًا ، 60 حوافًا

Dodecahedron مقطوع
32 وجهًا ، 60 قمة ، 90 حافة

مقطوع Icosahedron
32 وجهًا ، 60 قمة ، 90 حافة

المعينية
62 وجهًا ، 60 قمة ، 120 حافة

مقطوع Icosidodecahedron
62 وجهًا ، 120 رأسًا ، 180 حافة

صخب Dodecahedron
92 وجهًا ، 60 قمة ، 150 حافة

التطبيقات

كان أفلاطون مخطئًا في الاعتقاد بأن جميع العناصر تتكون من المواد الصلبة الأفلاطونية. لكن للعديد من الوجوه العادية العديد من الخصائص الخاصة التي تجعلها تظهر في مكان آخر في الطبيعة - ويمكننا نسخ هذه الخصائص في العلوم والهندسة.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

تتشكل العديد من الفيروسات والبكتيريا والكائنات الحية الصغيرة الأخرى مثل إيكوساهيدرا . على سبيل المثال ، يجب أن تحصر الفيروسات موادها الوراثية داخل غلاف العديد من وحدات البروتين المتطابقة. يعد الأسطح المجهرية هي الطريقة الأكثر فاعلية للقيام بذلك ، لأنها تتكون من بعض العناصر المنتظمة ولكنها تشبه شكل الكرة تقريبًا.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

تتشكل العديد من الجزيئات مثل الأشكال المتعددة الوجوه العادية. المثال الأكثر شهرة هو C60 والتي تتكون من 60 ذرة كربون مرتبة على شكل إيكوساهيدرون مقطوع .

تم اكتشافه في عام 1985 عندما بحث العلماء في الغبار بين النجوم. أطلقوا عليه اسم "Buckyball" (أو Buckminsterfullerene) على اسم المهندس المعماري Buckminster Fuller ، المشهور ببناء مباني متشابهة المظهر.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

معظم البلورات لها ذراتها مرتبة في شبكة منتظمة تتكون من رباعي الأرجل أو المكعبات أو الثماني . عندما تتشقق أو تتحطم ، يمكنك رؤية هذه الأشكال على نطاق أكبر.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Tetrahedra و octahedra صلبة ومستقرة بشكل لا يصدق ، مما يجعلها مفيدة للغاية في البناء . إطارات الفضاء هي هياكل متعددة الأضلاع يمكنها دعم الأسقف الكبيرة والجسور الثقيلة.

Football

Polygonal role-playing dice

كما تستخدم المواد الصلبة الأفلاطونية لإنشاء النرد . بسبب تناظرها ، فإن كل جانب لديه احتمالية الهبوط مواجهة - لذلك النرد عادلة.

من المحتمل أن يكون Icosahedron الأكثر شهرة في العالم: إنه شكل كرة القدم.