قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

مضلعات ومتعددة الوجوهالمواد الصلبة الأفلاطونية

وقت القراءة: ~35 min

في بداية هذه الدورة ، قمنا بتعريف المصلع العادي أنها "متماثلة" بشكل خاص ، حيث تكون جميع الجوانب والزوايا متشابهة. يمكننا القيام بشيء مماثل للعديد من الوجوه.

في متعدد الوجوه العادي ، تكون جميع الوجوه من نفس النوع من المضلع المنتظم ، ويقابل نفس العدد من الوجوه في كل رأس . تسمى متعدد الوجوه مع هاتين الخاصيتين بالجوامد الأفلاطونية الصلبة ، التي سميت باسم الفيلسوف اليوناني أفلاطون .

إذن كيف تبدو المواد الصلبة الأفلاطونية - وكم منها موجودة؟ لإنشاء شكل ثلاثي الأبعاد ، نحتاج إلى وجوه على الأقل لمقابلتها في كل قمة. لنبدأ بشكل منتظم بأصغر مضلع منتظم: مثلثات متساوية الأضلاع:

إذا قمنا بإنشاء متعدد السطوح حيث تلتقي ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع في كل رأس ، نحصل على الشكل على اليسار. ويسمى Tetrahedron وله وجوه. ("Tetra" تعني "أربعة" في اليونانية).

إذا اجتمعت أربعة مثلثات متساوية الأضلاع في كل رأس ، نحصل على مادة صخر أفلاطونية مختلفة. يطلق عليه Octahedron وله وجوه. ("Octa" تعني "ثمانية" في اليونانية. تمامًا مثل "Octagon" تعني شكلًا ذا 8 جوانب ، "Octahedron" تعني مادة صلبة ذات 8 وجوه.)

إذا اجتمعت مثلثات في كل رأس ، نحصل على Icosahedron . لها . ("إيكوزا" تعني "عشرين" باللغة اليونانية).

إذا اجتمعت مثلثات في كل رأس ، يحدث شيء مختلف: نحصل ببساطة على ، بدلاً من متعدد الوجوه ثلاثي الأبعاد.

كما أن سبعة مثلثات أو أكثر في كل رأس لا تنتج أيضًا العديد من الأشكال المتعددة الوجوه: لا توجد مساحة كافية حول الرأس ، لتناسب العديد من المثلثات.

هذا يعني أننا وجدنا مواد صلبة أفلاطونية تتكون من مثلثات. دعنا ننتقل إلى المضلع المنتظم التالي: المربعات.

إذا اجتمعت مربعات في كل رأس ، نحصل على المكعب . تماما مثل النرد ، لديه وجوه. يُطلق على المكعب أحيانًا اسم _Hexahedron ، بعد الكلمة اليونانية "hexa" لكلمة "six"._

إذا اجتمعت مربعات في كل رأس ، نحصل على . وكما كان الحال من قبل ، لن تعمل خمسة مربعات أو أكثر.

بعد ذلك ، دعنا نجرب الخماسي المنتظم:

إذا اجتمعت خماسي في كل رأس ، نحصل على Dodecahedron . لها . ("Dodeca" تعني "اثنا عشر" باليونانية.)

كما كان من قبل ، أربعة خماسيات أو أكثر لأنه لا توجد مساحة كافية.

المضلع المنتظم التالي الذي يجب تجربته هو السداسيات:

إذا اجتمعت ثلاث سداسيات في كل قمة ، نحصل على الفور على . نظرًا لعدم وجود مساحة لأكثر من ثلاثة ، يبدو أنه لا توجد مواد صلبة أفلاطونية تتكون من سداسيات.

يحدث نفس الشيء أيضًا لجميع المضلعات المنتظمة ذات أكثر من ستة جوانب. إنهم لا يغطون الشمع ، وبالتأكيد لا نحصل على أي مضلعات ثلاثية الأبعاد.

هذا يعني أن هناك مواد صلبة أفلاطونية فقط! دعنا نلقي نظرة عليها جميعًا معًا:

رباعي السطوح

وجوه
رؤوس
حواف

مكعب

وجوه
رؤوس
حواف

المجسم الثماني

وجوه
رؤوس
حواف

الاثني عشري

وجوه
20 رؤوس
30 حواف

Icosahedron

وجوه
12 رؤوس
30 حواف

لاحظ كيف يتم عدد الوجوه والرؤوس بالنسبة للمكعبات والثماني السطوح ، وكذلك الاثني عشر والسطوح المتساقطة ، بينما عدد الحواف . تسمى هذه الأزواج من المواد الصلبة الأفلاطونية بمواد صلبة مزدوجة .

يمكننا تحويل متعدد الوجوه إلى ثنائيته ، عن طريق "استبدال" كل وجه برأس ، وكل رأس بوجه. تظهر هذه الرسوم المتحركة كيف:

إن رباعي الأسطح ثنائي مع نفسه. نظرًا لأنه يحتوي على نفس العدد من الوجوه والرؤوس ، فإن تبديلها لن يغير أي شيء.

يعتقد أفلاطون أن جميع المواد في الكون تتكون من أربعة عناصر: الهواء والأرض والماء والنار. كان يعتقد أن كل عنصر يتوافق مع واحدة من المواد الصلبة الأفلاطونية ، في حين أن العنصر الخامس سيمثل الكون ككل. نعلم اليوم أن هناك أكثر من 100 عنصر مختلف يتكون من ذرات كروية ، وليس متعدد الوجوه.

صور من كتاب يوهانس كيبلر “Harmonices Mundi” (1619)

المواد الصلبة الأرخميدية

المواد الصلبة الأفلاطونية هي متعددة الوجوه بشكل خاص ، ولكن هناك عدد لا يحصى من الآخرين.

على سبيل المثال ، يجب أن تتكون المواد الصلبة الأرخميدية من مضلعات عادية ، ولكن يمكنك استخدام أنواع مختلفة متعددة. تم تسميتهم على اسم عالم رياضيات يوناني آخر ، أرخميدس من سيراكيوز ، وهناك 13 منهم:

Truncated Tetrahedron
8 وجوه و 12 رؤوس و 18 حواف

Cuboctahedron
14 وجهًا ، 12 رؤوس ، 24 حافة

Truncated Cube
14 وجهًا ، 24 رؤوس ، 36 حافة

Truncated Octahedron
14 وجهًا ، 24 رؤوس ، 36 حافة

Rhombicuboctahedron
26 وجهًا ، 24 رؤوس ، 48 حافة

Truncated Cuboctahedron
26 وجهًا ، 48 رؤوس ، 72 حافة

Snub Cube
38 وجهًا ، 24 رؤوس ، 60 حوافًا

Icosidodecahedron
32 وجهًا ، 30 رؤوس ، 60 حوافًا

Truncated Dodecahedron
32 وجهًا ، 60 رؤوس ، 90 حافة

Truncated Icosahedron
32 وجهًا ، 60 رؤوس ، 90 حافة

Rhombicosidodecahedron
62 وجهًا ، 60 رؤوس ، 120 حافة

Truncated Icosidodecahedron
62 وجهًا ، 120 رؤوس ، 180 حافة

Snub Dodecahedron 92 وجهًا ، 60 رؤوس ، 150 حافة

التطبيقات

كان أفلاطون مخطئًا في الاعتقاد بأن جميع العناصر تتكون من المواد الصلبة الأفلاطونية. لكن للعديد من الوجوه العادية العديد من الخصائص الخاصة التي تجعلها تظهر في مكان آخر في الطبيعة - ويمكننا نسخ هذه الخصائص في العلوم والهندسة.

Radiolaria هيكل عظمي

Icosahedral فايروس

تتشكل العديد من الفيروسات والبكتيريا والكائنات الحية الصغيرة الأخرى مثل Icosahedron . على سبيل المثال ، يجب أن تحصر الفيروسات موادها الوراثية داخل غلاف العديد من وحدات البروتين المتطابقة. يعد الأسطح المجهرية هي الطريقة الأكثر فاعلية للقيام بذلك ، لأنها تتكون من بعض العناصر المنتظمة ولكنها تشبه شكل الكرة تقريبًا.

Buckyball الجزيئات

مونتريال Biosphere

تتشكل العديد من الجزيئات مثل الأشكال المتعددة الوجوه العادية. المثال الأكثر شهرة هو C60 والتي تتكون من 60 ذرة كربون مرتبة على شكل Trucated Icosahedron .

تم اكتشافه في عام 1985 عندما بحث العلماء في الغبار بين النجوم. أطلقوا عليه اسم "Buckyball" (أو Buckminster fullerene) على اسم المهندس المعماري بكمنستر فولر ، المشهور ببناء مباني متشابهة المظهر.

Fluorite octahedron

Pyrite مكعب

معظم البلورات لها ذراتها مرتبة في شبكة منتظمة تتكون من رباعي السطوح أو المكعبات أو ثماني السطوح . عندما تتشقق أو تتحطم ، يمكنك رؤية هذه الأشكال على نطاق أكبر.

إطارات مثمنة

متحف اللوفر في باريس

رباعي السطوح و أو ثماني السطوح صلبة ومستقرة بشكل لا يصدق ، مما يجعلها مفيدة للغاية في البناء . إطارات الفضاء هي هياكل متعددة الأضلاع يمكنها دعم الأسقف الكبيرة والجسور الثقيلة.

كرة القدم

الزهر المضلع

كما تستخدم المواد الصلبة الأفلاطونية لإنشاء زهر الطاولة . بسبب تناظرها ، فإن كل جانب لديه احتمالية الهبوط مواجهة - لذلك النرد عادلة.

من المحتمل أن يكون Icosahedron الأكثر شهرة في العالم: إنه شكل كرة القدم.

Archie