الدوائر و Piالمقدمة

لطالما وجد البشر ، نظرنا إلى السماء وحاولنا شرح الحياة على الأرض باستخدام حركة النجوم والكواكب والقمر.

كان علماء الفلك اليونانيون القدماء أول من اكتشف أن جميع الأجرام السماوية تتحرك في مسارات منتظمة تسمى المدارات . كانوا يعتقدون أن هذه المدارات دائرية دائمًا. بعد كل شيء ، الدوائر هي "الأكثر مثالية" من جميع الأشكال: متماثل في كل اتجاه ، وبالتالي خيار مناسب للنظام الأساسي لكوننا.

تقع الأرض في مركز الكون البطلمى .

كل نقطة على دائرة

لها نفس المسافة من وسطها. هذا يعني أنه يمكن رسمها باستخدام البوصلة :

هناك ثلاثة قياسات مهمة تتعلق بالدوائر تحتاج إلى معرفتها:

النسف القطر هو المسافة من وسط الدائرة إلى حافتها الخارجية.
القطر هو المسافة بين نقطتين متقابلتين على دائرة. يمر وسها ، وطوله ???
نصف القطر.
المحيت (أو المحيط الدائرة) هو المسافة حول دائرة.

إحدى الخصائص المهمة للدوائر هي أن جميع الدوائر متشابهة

. يمكنك إثبات ذلك من خلال إظهار كيفية مطابقة جميع الدوائر باستخدام الترجمات والتوسعات ببساطة:

قد تتذكر أنه بالنسبة للمضلعات المماثلة ، تكون النسبة بين الأضلاع المقابلة ثابتة دائمًا. شيء مشابه يعمل في الدوائر: النسبة بين المحيط الدائرة

والقطر متساوية لجميع الدوائر . إنه دائمًا 3.14159 ... - رقم غامض يسمى Pi ، والذي غالبًا ما يتم كتابته بالحرف اليوناني π لـ "p". يحتوي Pi على عدد لا نهائي من الأرقام العشرية التي تستمر إلى الأبد بدون أي نمط محدد:

هنا عجلة بقطر 1. عندما "تطيل" المحيط الدائرة ، يمكنك أن ترى أن طوله بالضبط ???

بالنسبة لدائرة قطرها d ، يكون المحيط C=π×d . وبالمثل ، بالنسبة لدائرة نصف قطرها

r ، يكون المحيط

C= ???

الدوائر متناظرة تمامًا ، وليس لديها أي "نقاط ضعف" مثل زوايا المضلع. هذا هو أحد الأسباب التي تجعل من الممكن العثور عليها في كل مكان في الطبيعة:

زهور

الكواكب

الأشجار

فاكهة

فقاعات الصابون

وهناك العديد من الأمثلة الأخرى: من أقواس قزح إلى تموجات الماء. هل يمكنك أن تفكر في أي شي آخر؟

يتبين أيضًا أن الدائرة هي الشكل الذي يحتوي على أكبر مساحة لمحيط الدائرة معين. على سبيل المثال ، إذا كان لديك حبل بطول 100 م ، يمكنك استخدامه لإحاطة أكبر مساحة إذا قمت بتشكيل دائرة (بدلاً من الأشكال الأخرى مثل المستطيل أو المثلث).

في الطبيعة ، يمكن لأشياء مثل قطرات الماء أو فقاعات الهواء توفير الطاقة من خلال أن تصبح دائرية أو كروية ، وتقليل مساحة سطحها.

مثلث

مربع

مخمس

دائرة

المحيط = 100 ، المساحة =

مساحة الدائرة

ولكن كيف نحسب بالفعل مساحة الدائرة؟ دعنا نجرب نفس التقنية التي استخدمناها لإيجاد مساحة الرباعي : نقطع الشكل إلى أجزاء مختلفة متعددة ، ثم نعيد ترتيبها إلى شكل مختلف نعرف بالفعل منطقة (مثل مستطيل أو مثلث).

الاختلاف الوحيد هو أنه ، نظرًا لأن الدوائر منحنية ، يتعين علينا استخدام بعض التقديرات:

هنا يمكنك أن ترى دائرة مقسمة إلى أسافين. حرّك شريط التمرير ، لتحاذي الأوتاد في صف واحد.

إذا قمنا بزيادة عدد الأوتاد إلى

، يبدأ هذا الشكل في الظهور أكثر فأكثر مثل ??? .

ارتفاع المستطيل يساوي ???

الدائرة. عرض المستطيل يساوي ??? الدائرة. (لاحظ كيف أن نصف الأوتاد لأسفل ونصفها لأعلى.)

وبالتالي فإن المساحة الإجمالية للمستطيل تكون تقريبًا A=πr2

هنا يمكنك أن ترى دائرة مقسمة إلى خواتم. كما كان من قبل ، يمكنك تحريك شريط التمرير "لفك" الحلقات.

إذا قمنا بزيادة عدد الحلقات إلى

، يبدأ هذا الشكل في الظهور أكثر وأكثر مثل ??? .

ارتفاع المثلث يساوي ???

الدائرة. قاعدة المثلث تساوي [محيط | ضعف قطر]] الدائرة. وبالتالي فإن المساحة الإجمالية للمثلث تقارب

A=12base×height=πr2

إذا تمكنا من استخدام العديد من الحلقات أو الأوتاد بشكل لا نهائي ، فسيكون التقريب أعلاه مثاليًا - وكلاهما يعطينا نفس الصيغة لمنطقة الدائرة:

A=πr2

حساب Pi

كما رأيت أعلاه ، π=3.1415926… ليس عددًا صحيحًا بسيطًا ، وأرقامه العشرية تستمر إلى الأبد ، دون أي نمط متكرر. تسمى الأرقام التي تحتوي على هذه الخاصية أرقامًا غير منطقية

، وهذا يعني ذلك π لا يمكن التعبير عنه على أنه كسر بسيط ab .

هذا يعني أيضًا أنه لا يمكننا أبدًا تدوين جميع أرقام Pi - بعد كل شيء ، هناك الكثير بلا حدود. قام علماء الرياضيات اليونانيون والصينيون القدماء بحساب الأرقام الأربعة العشرية الأولى لـ Pi عن طريق تقريب الدوائر باستخدام المضلعات العادية. لاحظ كيف أنه ، عندما تضيف المزيد من الجوانب ، يبدأ المضلع في الظهور ???

مثل الدائرة:

NASA

في عام 1665 ، تمكن إسحاق نيوتن

من حساب 15 رقمًا. اليوم ، يمكننا استخدام أجهزة كمبيوتر قوية لحساب قيمة Pi إلى دقة أعلى بكثير.

الرقم القياسي الحالي هو 31.4 تريليون رقم. يبلغ سمك الكتاب المطبوع الذي يحتوي على جميع هذه الأرقام حوالي 400 كم - وهو الارتفاع الذي تدور فيه محطة الفضاء الدولية

حول الأرض!

بالطبع ، لا تحتاج إلى تذكر أن العديد من أرقام Pi. في الواقع ، الكسر 227=3.142… هو تقريب كبير.

أحد الطرق لحساب Pi هو استخدام تسلسل لا نهائي من الأرقام. في ما يلي مثال تم اكتشافه بواسطة جوتفريد فيلهلم ليبنيز

عام 1676:

π=41−43+45−47+49−4+…

بينما نقوم بحساب المزيد والمزيد من شروط هذه السلسلة ، باتباع نفس النمط دائمًا ، ستقترب النتيجة من Pi.

يعتقد العديد من علماء الرياضيات أن Pi لديها خاصية أكثر فضولًا: إنها رقم طبيعي . هذا يعني أن الأرقام من 0 إلى 9 تظهر بشكل عشوائي تمامًا ، كما لو أن الطبيعة قد دحرجت نردًا من 10 جوانب بشكل لا نهائي عدة مرات ، لتحديد قيمة Pi.

هنا يمكنك رؤية أول 100 رقم من Pi. تحرك فوق بعض الخلايا ، لمعرفة كيفية توزيع الأرقام.

…

إذا كانت Pi طبيعية ، فهذا يعني أنه يمكنك التفكير في أي سلسلة من الأرقام ، وستظهر في مكان ما في أرقامها. هنا يمكنك البحث في أول مليون رقم من Pi - هل تحتوي على عيد ميلادك؟

مليون رقم من Pi

ابحث عن سلسلة من الأرقام:

يمكننا حتى تحويل كتاب كامل ، مثل هاري بوتر ، إلى سلسلة طويلة جدًا من الأرقام (أ = 01 ، ب = 02 ، وما إلى ذلك). إذا كانت Pi طبيعية ، فستظهر هذه السلسلة في مكان ما في أرقامها - ولكن سيستغرق ملايين السنين لحساب أرقام كافية للعثور عليها.

Pi سهلة الفهم ، لكنها ذات أهمية أساسية في العلوم والرياضيات. قد يكون هذا هو السبب في أن Pi أصبحت شائعة بشكل غير معتاد في ثقافتنا (على الأقل ، مقارنة بمواضيع الرياضيات الأخرى):

Pi هو المزيج السري للكمبيوتر اللوحي في "Night at the Museum 2".

يقوم البروفيسور فرينك ("سمبسنز") بإسكات غرفة من العلماء بقولهم إن Pi تساوي 3.

يعطل Spock ("Star Trek") جهاز كمبيوتر شرير من خلال مطالبته بحساب الرقم الأخير من Pi.

هناك حتى يوم بي كل عام ، والذي يقع إما في 14 مارس ، لأنه π≈3.14 ، أو في 22 يوليو ، لأنه π≈227 .