قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

الدوائر و Piالمجالات والأقماع والأسطوانات

وقت القراءة: ~50 min

في الأقسام السابقة درسنا خصائص الدوائر على سطح مستو. لكن عالمنا في الواقع ثلاثي الأبعاد ، لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض المواد الصلبة ثلاثية الأبعاد القائمة على الدوائر:

تتكون الأسطوانة من دائرتين متوازيتين متطابقتين متصلين بسطح منحني.

المخروط له قاعدة دائرية مرتبطة بنقطة واحدة (تسمى قمة الرأس).

كل نقطة على سطح الكرة لها نفس المسافة من مركزها.

لاحظ كيف أن تعريف المجال هو تقريبًا نفس تعريف - باستثناء ثلاثة أبعاد!

الاسطوانات

هنا يمكنك رؤية مقياس الغاز الأسطواني في أوبرهاوزن بألمانيا. كانت تستخدم لتخزين الغاز الطبيعي الذي كان يستخدم كوقود في المصانع القريبة ومحطات الطاقة. يبلغ طول جهاز قياس الغاز 120 م ، وقاعدة وسقف دائرتين كبيرتين بنصف قطر 35 م. هناك سؤالان مهمان قد يرغب المهندسون في الإجابة عليهم:

  • كم يمكن تخزين الغاز الطبيعي؟ هذا هو الاسطوانة.
  • ما مقدار الفولاذ المطلوب لبناء مقياس الغاز؟ هذه (تقريبًا) الاسطوانة.

دعونا نحاول العثور على صيغ لكل من هذه النتائج!

مقياس غاز أوبرهاوزن

حجم الاسطوانة

الجزء العلوي والسفلي من الأسطوانة دائرتان متطابقتان تسمى القواعد . ال ارتفاع h الاسطوانة هي المسافة العمودية بين هذه القواعد ، و دائرة نصف قطرها ص من اسطوانة هو مجرد دائرة نصف قطرها من قواعد دائرية.

يمكننا تقريب الاسطوانة باستخدام ${n} المنشور ذو الجوانب. مع زيادة عدد الجوانب ، يبدأ المنشور في الظهور أكثر فأكثر مثل الأسطوانة:

على الرغم من أن الأسطوانة ليست من منظورًا تقنيًا ، إلا أنها تشترك في العديد من الخصائص. في كلتا الحالتين ، يمكننا العثور على الحجم بضرب مساحة قاعدة مع الارتفاع . هذا يعني أن اسطوانة نصف قطرها ص والارتفاع ح لديه حجم

V=

تذكر أن الشعاع والارتفاع يجب أن يستخدموا نفس الوحدات. على سبيل المثال ، إذا كان r و h كلاهما بالسنتيمتر ، فسيكون الحجم .

في الأمثلة أعلاه ، كانت قاعدتا الأسطوانة دائمًا فوق بعضهما البعض مباشرة : ويسمى هذا بالأسطوانة اليمنى . إذا لم تكن القواعد فوق بعضها البعض مباشرة ، فلدينا أسطوانة مائلة . لا تزال القواعد متوازية ، ولكن يبدو أن الجانبين "يميلان" بزاوية ليست 90 درجة.

برج بيزا المائل في إيطاليا ليس أسطوانة مائلة تمامًا.

يتضح أن حجم الأسطوانة المائلة هو نفس حجم الأسطوانة اليمنى بنفس نصف القطر والارتفاع. هذا يرجع إلى مبدأ Cavalieri ، الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الإيطالي Bonaventura Cavalieri : إذا كانت هناك مادتان صلبتان لهما نفس المنطقة المستعرضة في كل ارتفاع ، فسيكون لديهم نفس الحجم.

تخيل تشريح أسطوانة إلى الكثير من الأقراص الرقيقة. يمكننا بعد ذلك تمرير هذه الأقراص أفقيًا للحصول على أسطوانة مائلة. لا يتغير حجم الأقراص الفردية أثناء جعلها مائلة ، وبالتالي يبقى الحجم الإجمالي ثابتًا أيضًا:

مساحة الاسطوانة

العثور على المساحة السطحية للاسطوانة، علينا أن "انبسط" هو داخل شبكتها شقة. يمكنك تجربة ذلك بنفسك ، على سبيل المثال عن طريق تقشير الملصق على علبة طعام.

هناك ، واحدة في الأعلى والأخرى في أسفل الأسطوانة. الجانب المنحني هو في الواقع كبير .

  • تحتوي كلتا الدائرتين على مساحة . * {.reveal(data-when="eqn-0")} ارتفاع المستطيل وعرض المستطيل هو نفسه الدوائر: .

هذا يعني أن إجمالي مساحة الاسطوانة التي يبلغ نصف قطرها r والارتفاع h معطاة بواسطة

A= .

يمكن العثور على الأسطوانات في كل مكان في عالمنا - من علب الصودا إلى ورق التواليت أو أنابيب المياه. هل يمكنك التفكير في أي أمثلة أخرى؟

يبلغ قطر جهاز قياس الغازات أعلاه 35 م وارتفاعه 120 م. يمكننا الآن حساب أن حجمه يبلغ تقريبًا m3 ومساحتها تقارب m2 .

المخاريط

المخروط هو مادة صلبة ثلاثية الأبعاد لها دائري القاعدة . جانبها "ينحسر لأعلى" كما هو موضح في الرسم البياني ، وينتهي بنقطة واحدة تسمى قمة الرأس .

ال نصف قطر المخروط هو نصف قطر القاعدة الدائرية و ارتفاع المخروط هو المسافة المتعامدة من القاعدة إلى القمة.

تمامًا مثل الأشكال الأخرى التي التقيناها من قبل ، المخاريط موجودة في كل مكان حولنا: مخاريط الآيس كريم ، والأقماع المرورية ، وأسقف معينة ، وحتى أشجار عيد الميلاد. ماذا يمكن ان يخطر لك؟

حجم المخروط

وجدنا في السابق حجم الأسطوانة عن طريق تقريبها باستخدام منشور. وبالمثل ، يمكننا العثور على حجم المخروط عن طريق تقريبه باستخدام هرم .

هنا يمكنك ان ترى ${n} هرم ذو وجهين. كلما زاد عدد الأضلاع ، بدأ الهرم يبدو أكثر فأكثر كمخروط. في الواقع ، يمكن أن نفكر في المخروط على أنه هرم له جوانب عديدة بلا حدود !

هذا يعني أيضًا أنه يمكننا أيضًا استخدام معادلة الحجم: V=13base×height . قاعدة المخروط هي دائرة ، لذا فإن حجم المخروط الذي يبلغ نصف قطره r والارتفاع h هو

V=

لاحظ التشابه مع معادلة حجم الاسطوانة. تخيل رسم أسطوانة حول المخروط ، بنفس القاعدة والارتفاع - وهذا ما يسمى بالأسطوانة المحدودة . الآن ، سيشغل المخروط بالضبط حجم الاسطوانة:

ملاحظة: قد تعتقد أن العديد من الجوانب الصغيرة بشكل غير محدود كتقريب هو "غير دقيق" بعض الشيء. قضى علماء الرياضيات وقتًا طويلاً في محاولة لإيجاد طريقة أكثر وضوحًا لحساب حجم المخروط. في عام 1900 ، وصفها عالم الرياضيات العظيم ديفيد هيلبرت بأنها واحدة من أهم 23 مشكلة لم يتم حلها في الرياضيات! اليوم نعلم أنه مستحيل في الواقع.

تمامًا مثل الأسطوانة ، لا يجب أن يكون المخروط "مستقيمًا". إذا كان الرأس مباشرة فوق مركز القاعدة ، فلدينا مخروط صحيح . خلاف ذلك ، نسميها مخروط مائل .

مرة أخرى ، يمكننا استخدام مبدأ كافالييري لإظهار أن جميع المخاريط المائلة لها نفس الحجم ، طالما أن لها نفس القاعدة والارتفاع.

مساحة سطح المخروط

العثور على مساحة سطح المخروط هو أكثر صعوبة. كما كان من قبل ، يمكننا أن نكشف المخروط في شبكته. حرك شريط التمرير لمعرفة ما يحدث: في هذه الحالة ، نحصل على دائرة واحدة واحدة .

الآن علينا فقط إضافة مساحة كل من هذه المكونات. ال القاعدة عبارة عن دائرة نصف قطرها r ، لذا تكون مساحتها

ABase= .

نصف قطر القطاع هو نفس المسافة من حافة المخروط إلى قمته. هذا يسمى ارتفاع الميل ق المخروط، وليس نفس وضعها الطبيعي ارتفاع ح . يمكننا إيجاد الارتفاع المائل باستخدام فيثاغورس :

s2=
s=

ال طول القوس للقطاع هو نفس القاعدة : 2πr . الآن يمكننا العثور على مساحة القطاع باستخدام الصيغة التي استخلصناها في قسم سابق:

ASector=ACircle×arccircumference
=

أخيرا ، علينا فقط أن نضيف مساحة قاعدة ومساحة القطاع ، للحصول على السطح الكلي للمخروط:

A=

المجالات

الكرة عبارة عن مادة صلبة ثلاثية الأبعاد تتكون من جميع النقاط التي لها نفس المسافة من نقطة معينة المركز ج . هذه المسافة تسمى نصف القطر r للكرة.

يمكنك التفكير في المجال على أنه " دائرة ثلاثية الأبعاد". تمامًا مثل الدائرة ، فإن الكرة لها أيضًا قطر د ، وهو طول نصف القطر ، وكذلك الحبال والقطوع.

في مقطع سابق ، تعلمت كيف قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بحساب نصف قطر الأرض باستخدام ظل القطب - كان 6،371 كم. الآن ، دعنا نحاول العثور على إجمالي حجم الأرض ومساحتها السطحية.

حجم الكرة

للعثور على حجم الكرة ، علينا مرة أخرى استخدام مبدأ Cavalieri. لنبدأ بنصف الكرة الأرضية - كرة مقطوعة إلى النصف على طول خط الاستواء. نحتاج أيضًا إلى أسطوانة بنفس نصف القطر والارتفاع مثل نصف الكرة الأرضية ، ولكن مع مخروط مقلوب "مقطوع" في المنتصف.

أثناء تحريك شريط التمرير أدناه ، يمكنك رؤية المقطع العرضي لكلا هذين الشكلين على ارتفاع محدد فوق القاعدة:

دعونا نحاول العثور على مساحة المقطع العرضي لكل من هذه المواد الصلبة ، على مسافة الارتفاع ح فوق القاعدة.

المقطع العرضي من نصف الكرة الأرضية دائمًا .

ال نصف القطر x للمقطع العرضي جزء من أ مثلث قائم الزاوية ، حتى نتمكن من استخدام فيثاغورس :

r2=h2+x2 .

الآن ، مساحة المقطع العرضي هي

A=

يكون المقطع العرضي للأسطوانة المقطوعة دائمًا .

نصف قطر الثقب h . يمكننا إيجاد مساحة الحلقة بطرح مساحة الحفرة من مساحة الدائرة الأكبر:

أ=πr2πh2
=πr2h2

يبدو أن كلا النوعين من المواد الصلبة لهما نفس المنطقة المستعرضة على كل مستوى. حسب مبدأ كافالييري ، يجب أن يكون لكل من المواد الصلبة نفس ! يمكننا العثور على حجم نصف الكرة بطرح حجم الاسطوانة وحجم المخروط :

VHemisphere=VCylinderVCone
=

يتكون مجال مما يعني أن حجمه يجب أن يكون

V=43πr3 .

الأرض (تقريبًا) كرة نصف قطرها 6،371  كم. لذلك حجمه

V=
= 1 km3

متوسط كثافة الأرض 5510kg/m3 . هذا يعني أن كتلته الكلية

Mass=Volume×Density6×1024kg

هذا 6 متبوع بـ 24 أصفار!

إذا قارنت معادلات حجم الأسطوانة والمخروط والكرة ، فقد تلاحظ واحدة من أكثر العلاقات مرضية في الهندسة. تخيل أن لدينا أسطوانة بنفس ارتفاع قطر قاعدتها. يمكننا الآن وضع كل من المخروط والكرة في الداخل تمامًا:

+

هذا المخروط له نصف قطر r والطول 2r . حجمه

=

هذا المجال له نصف قطر r . حجمه

هذه الاسطوانة نصف قطرها r والطول 2r . حجمه

لاحظ كيف ، إذا حجم المخروط والكرة ، نحصل بالضبط على حجم الاسطوانة!

مساحة سطح الكرة

من الصعب جدًا العثور على صيغة لمساحة سطح الكرة. أحد الأسباب هو أنه لا يمكننا فتح و "تسطيح" سطح الكرة ، كما فعلنا من أجل المخاريط والأسطوانات من قبل.

هذه مشكلة خاصة عند محاولة إنشاء الخرائط. تتمتع الأرض بسطح منحني ثلاثي الأبعاد ، ولكن يجب أن تكون كل خريطة مطبوعة مسطحة وثنائية الأبعاد. وهذا يعني أنه يجب على الجغرافيين الغش: عن طريق تمديد أو عصر مناطق معينة.

يمكنك هنا رؤية أنواع مختلفة من الخرائط تسمى الإسقاطات . حاول تحريك المربع الأحمر ، وشاهد كيف تبدو هذه المنطقة بالفعل على الكرة الأرضية:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

للعثور على مساحة سطح الكرة ، يمكننا مرة أخرى تقريبها باستخدام شكل مختلف - على سبيل المثال متعدد الوجوه مع الكثير من الوجوه. مع زيادة عدد الوجوه ، يبدأ متعدد الوجوه في الظهور أكثر فأكثر مثل الكرة.

قريبًا: إثبات مساحة سطح الكرة