الدوائر و Piالمجالات والأقماع والأسطوانات

في الأقسام السابقة درسنا خصائص الدوائر على سطح مستو. لكن عالمنا في الواقع ثلاثي الأبعاد ، لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض المواد الصلبة ثلاثية الأبعاد القائمة على الدوائر:

لاحظ كيف أن تعريف المجال هو تقريبًا نفس تعريف الدائرة نصف القطر المكعب - باستثناء ثلاثة أبعاد!

الاسطوانات

حجم الاسطوانة

الجزء العلوي والسفلي من الأسطوانة دائرتان متطابقتان تسمى القواعد . ال ارتفاع h الاسطوانة هي المسافة العمودية بين هذه القواعد ، و دائرة نصف قطرها ص من اسطوانة هو مجرد دائرة نصف قطرها من قواعد دائرية.

يمكننا تقريب الاسطوانة باستخدام ${n} المنشور ذو الجوانب. مع زيادة عدد الجوانب ، يبدأ المنشور في الظهور أكثر فأكثر مثل الأسطوانة:

على الرغم من أن الأسطوانة ليست من منظورًا تقنيًا ، إلا أنها تشترك في العديد من الخصائص. في كلتا الحالتين ، يمكننا العثور على الحجم بضرب مساحة قاعدة مع الارتفاع . هذا يعني أن اسطوانة نصف قطرها ص والارتفاع ح لديه حجم

V=

تذكر أن الشعاع والارتفاع يجب أن يستخدموا نفس الوحدات. على سبيل المثال ، إذا كان r و h كلاهما بالسنتيمتر ، فسيكون الحجم cm3cm2 cm .

يتضح أن حجم الأسطوانة المائلة هو نفس حجم الأسطوانة اليمنى بنفس نصف القطر والارتفاع. هذا يرجع إلى مبدأ كافاليري ، الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الإيطالي بونافينتورا كافاليري : إذا كانت هناك مادتان صلبتان لهما نفس المنطقة المستعرضة في كل ارتفاع ، فسيكون لديهم نفس الحجم.

تخيل تشريح أسطوانة إلى الكثير من الأقراص الرقيقة. يمكننا بعد ذلك تمرير هذه الأقراص أفقيًا للحصول على أسطوانة مائلة. لا يتغير حجم الأقراص الفردية أثناء جعلها مائلة ، وبالتالي يبقى الحجم الإجمالي ثابتًا أيضًا:

مساحة الاسطوانة

هذا يعني أن إجمالي مساحة الاسطوانة التي يبلغ نصف قطرها r والارتفاع h معطاة بواسطة

A=

يمكن العثور على الأسطوانات في كل مكان في عالمنا - من علب الصودا إلى ورق التواليت أو أنابيب المياه. هل يمكنك التفكير في أي أمثلة أخرى؟

يبلغ قطر جهاز قياس الغازات أعلاه 35 م وارتفاعه 120 م. يمكننا الآن حساب أن حجمه يبلغ تقريبًا m3 ومساحتها تقارب m2 .

المخاريط

حجم المخروط

هذا يعني أيضًا أنه يمكننا أيضًا استخدام معادلة الحجم: V=13base×height . قاعدة المخروط هي دائرة ، لذا فإن حجم المخروط الذي يبلغ نصف قطره r والارتفاع h هو

V=

لاحظ التشابه مع معادلة حجم الاسطوانة. تخيل رسم أسطوانة حول المخروط ، بنفس القاعدة والارتفاع - وهذا ما يسمى بالأسطوانة المحدودة . الآن ، سيشغل المخروط بالضبط ثلث نصف ربع حجم الاسطوانة:

ملاحظة: قد تعتقد أن العديد من الجوانب الصغيرة بشكل غير محدود كتقريب هو "غير دقيق" بعض الشيء. قضى علماء الرياضيات وقتًا طويلاً في محاولة لإيجاد طريقة أكثر وضوحًا لحساب حجم المخروط. في عام 1900 ، وصفها عالم الرياضيات العظيم ديفيد هيلبرت بأنها واحدة من أهم 23 مشكلة لم يتم حلها في الرياضيات! اليوم نعلم أنه مستحيل في الواقع.

مساحة سطح المخروط

أخيرا ، علينا فقط أن نضيف مساحة قاعدة ومساحة القطاع ، للحصول على السطح الكلي للمخروط:

A=

المجالات

في مقطع سابق ، تعلمت كيف قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بحساب نصف قطر الأرض باستخدام ظل القطب - كان 6،371 كم. الآن ، دعنا نحاول العثور على إجمالي حجم الأرض ومساحتها السطحية. استمر

حجم الكرة

للعثور على حجم الكرة ، علينا مرة أخرى استخدام مبدأ كافالييري. لنبدأ بنصف الكرة الأرضية - كرة مقطوعة إلى النصف على طول خط الاستواء. نحتاج أيضًا إلى أسطوانة بنفس نصف القطر والارتفاع مثل نصف الكرة الأرضية ، ولكن مع مخروط مقلوب "مقطوع" في المنتصف.

أثناء تحريك شريط التمرير أدناه ، يمكنك رؤية المقطع العرضي لكلا هذين الشكلين على ارتفاع محدد فوق القاعدة:

دعونا نحاول العثور على مساحة المقطع العرضي لكل من هذه المواد الصلبة ، على مسافة الارتفاع فوق القاعدة.

يبدو أن كلا النوعين من المواد الصلبة لهما نفس المنطقة المستعرضة على كل مستوى. حسب مبدأ كافالييري ، يجب أن يكون لكل من المواد الصلبة نفس الحجم مساحة السطح محيط ! يمكننا العثور على حجم نصف الكرة بطرح حجم الاسطوانة وحجم المخروط :

يتكون مجال مما يعني أن حجمه يجب أن يكون

V=43πr3 .

إذا قارنت معادلات حجم الأسطوانة والمخروط والكرة ، فقد تلاحظ واحدة من أكثر العلاقات مرضية في الهندسة. تخيل أن لدينا أسطوانة بنفس ارتفاع قطر قاعدتها. يمكننا الآن وضع كل من المخروط والكرة في الداخل تمامًا:

لاحظ كيف ، إذا أضفنا طرح او خصم مضاعفة حجم المخروط والكرة ، نحصل بالضبط على حجم الاسطوانة!

مساحة سطح الكرة

من الصعب جدًا العثور على صيغة لمساحة سطح الكرة. أحد الأسباب هو أنه لا يمكننا فتح و "تسطيح" سطح الكرة ، كما فعلنا من أجل المخاريط والأسطوانات من قبل.

هذه مشكلة خاصة عند محاولة إنشاء الخرائط. تتمتع الأرض بسطح منحني ثلاثي الأبعاد ، ولكن يجب أن تكون كل خريطة مطبوعة مسطحة وثنائية الأبعاد. وهذا يعني أنه يجب على الجغرافيين الغش: عن طريق تمديد أو عصر مناطق معينة.

يمكنك هنا رؤية أنواع مختلفة من الخرائط تسمى الإسقاطات . حاول تحريك المربع الأحمر ، وشاهد كيف تبدو هذه المنطقة بالفعل على الكرة الأرضية:

للعثور على مساحة سطح الكرة ، يمكننا مرة أخرى تقريبها باستخدام شكل مختلف - على سبيل المثال متعدد الوجوه مع الكثير من الوجوه. مع زيادة عدد الوجوه ، يبدأ متعدد الوجوه في الظهور أكثر فأكثر مثل الكرة.

قريبًا: إثبات مساحة سطح الكرة