قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

الدوائر و Piالدرجات والراديان

وقت القراءة: ~25 min

حتى الآن في الهندسة ، قمنا دائمًا بقياس الزوايا بالدرجات . أ دوران الدائرة الكاملة هو درجة ، أ نصف الدائرة درجة ، أ ربع الدائرة درجة ، وهكذا.

الرقم 360 مناسب للغاية لأنه قابل للقسمة على العديد من الأرقام الأخرى: 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 ، 9 ، 10 ، 12 ، 15 ، وما إلى ذلك. هذا يعني أن العديد من الكسور في دائرة واحدة هي أيضًا أعداد صحيحة. ولكن هل تساءلت يومًا من أين يأتي الرقم 360؟

كما يحدث ، 360 درجة هي واحدة من أقدم المفاهيم في الرياضيات التي ما زلنا نستخدمها اليوم. لقد تم تطويرها في بابل القديمة ، منذ أكثر من 5000 عام!

في ذلك الوقت ، كان أحد أهم تطبيقات الرياضيات في علم الفلك. تحدد الشمس الفصول الأربعة ، والتي يجب على المزارعين معرفتها عند زراعة المحاصيل. وبالمثل ، يحدد القمر المد والجزر ، وهو أمر مهم للصيادين. درس الناس أيضًا النجوم للتنبؤ بالمستقبل أو للتواصل مع الآلهة.

قرص بابلي للحساب 2

لاحظ علماء الفلك أن الأبراج المرئية في وقت محدد أثناء الليل تتغير قليلاً كل يوم - حتى بعد 360 يومًا تقريبًا ، تعود إلى نقطة البداية. وربما كان هذا هو السبب في تقسيم الدائرة إلى 360 درجة.

منتصف الليل في النهار ${day}

بالطبع ، هناك بالفعل 365 يومًا في عام واحد (حسنًا ، 365.242199 على وجه الدقة) ، لكن علماء الرياضيات البابليين عملوا مع ساعات شمسية بسيطة ، وكان هذا التقريب مناسبًا تمامًا.

كما عملت بشكل جيد مع نظامهم الأساسي الأساسي 60 (منذ ذلك الحين 6×60=360 ). هذا النظام هو السبب في أنه لا يزال لدينا 60 ثانية في الدقيقة و 60 دقيقة في الساعة - على الرغم من أن معظم الوحدات الأخرى تقاس في القاعدة 10 (على سبيل المثال 10 سنوات في العقد ، أو 100 سنة في القرن).

بالنسبة للكثيرين منا ، فإن قياس الزوايا بالدرجات هو طبيعة ثانية: يوجد فيديو 360 درجة ، ويمكن لألواح التزلج على الجليد سحب 540s ، وقد يقوم شخص يغير قراره بتحويل 180 درجة.

ولكن من وجهة نظر رياضية ، فإن اختيار 360 أمر تعسفي تمامًا. إذا كنا نعيش على كوكب المريخ ، فقد يكون لدائرة 670 درجة ، ولسنة على المشتري حتى 10475 يومًا.

540 مكفليب ، دوران 540 درجة

راديان

بدلاً من تقسيم دائرة إلى عدد من الأجزاء (مثل 360 درجة) ، يفضل علماء الرياضيات غالبًا قياس الزوايا باستخدام محيط دائرة الوحدة (دائرة نصف قطرها 1).

لديها محيط .

، المسافة المقابلة على طول المحيط .

، المسافة على طول المحيط .

وهكذا: تسمى طريقة قياس الزوايا الراديان (يمكنك أن تتذكر هذا على أنه "وحدات نصف قطر").

لكل زاوية بالدرجات حجم مكافئ بوحدات الراديان. التحويل بين الاثنين سهل للغاية - تمامًا كما يمكنك التحويل بين وحدات أخرى مثل الأمتار والكيلومترات ، أو مئوية وفهرنهايت:

360 درجة = 2 π راديان


1 درجة = راديان


1 راديان = °

يمكنك كتابة قيمة الراديان إما كمضاعف π ، أو كرقم عشري واحد فقط. هل يمكنك ملء هذا الجدول بأحجام الزاوية المتساوية بالدرجات والراديان؟

درجات060180
راديار0232π

المسافة المقطوعة

يمكنك التفكير في الراديان على أنها "المسافة المقطوعة" على طول محيط دائرة الوحدة. هذا مفيد بشكل خاص عند العمل مع الكائنات التي تتحرك على مسار دائري.

على سبيل المثال ، تدور محطة الفضاء الدولية حول الأرض مرة كل 1.5 ساعة. هذا يعني سرعة دورانها راديان في الساعة.

في دائرة الوحدة ، تكون سرعة الدوران هي نفس السرعة الفعلية ، لأن طول المحيط هو نفس الدوران الكامل بالراديان (كلاهما 2π ).

يبلغ نصف قطر مدار المحطة الفضائية الدولية 6800  كم ، مما يعني أن السرعة الفعلية لمحطة الفضاء الدولية يجب أن تكون = 28483 كم / ساعة.

${round(p*1.5,1)}h

هل يمكنك أن ترى ، في هذا المثال ، وحدات الراديان هي وحدة أكثر ملاءمة من الدرجات؟ بمجرد أن نعرف سرعة الدوران ، علينا ببساطة أن نضرب في نصف القطر للحصول على السرعة الفعلية.

إليك مثال آخر: تحتوي سيارتك على عجلات نصف قطرها 0.25  م. إذا كنت تقود بسرعة 20  م / ث ، فإن عجلات سيارتك تدور راديان في الثانية (أو 802π=13 تناوب في الثانية).

علم المثلثات

بالنسبة إلى معظم المشاكل الهندسية البسيطة ، فإن الدرجات والراديان قابلة للتبادل تمامًا - يمكنك إما اختيار أيهما تفضل ، أو سؤال قد يخبرك بالوحدة التي تريد إجابتك فيها. ومع ذلك ، بمجرد دراسة علم المثلثات أو حساب التفاضل والتكامل الأكثر تقدمًا ، اتضح أن الراديان أكثر راحة من الدرجات.

تحتوي معظم الآلات الحاسبة على زر خاص للتبديل بين الدرجات والراديان. الدوال المثلثية مثل الخطيئة ، cos و tan تأخذ الزوايا كمدخل ، ودوالها العكسية arcsin ، arccos و arctan زوايا العودة كمخرجات. يحدد إعداد الحاسبة الحالي الوحدات المستخدمة لهذه الزوايا.

حاول استخدام هذه الآلة الحاسبة لحساب ذلك

sin (30°) = cos (1°) =
sin (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

استخدام الراديان لديه ميزة واحدة مثيرة للاهتمام بشكل خاص عند استخدام الدالة Sine. إذا θ هي زاوية صغيرة جدًا (أقل من 20 درجة أو 0.3 راد) ، ثم sinθθ . فمثلا،

خطيئة ( ${x} ) ${sin(x)} ...

وهذا ما يسمى تقريب الزاوية الصغيرة ، ويمكن أن يبسط إلى حد كبير معادلات معينة تحتوي على دالات مثلثية. ستتعلم المزيد عن هذا في المستقبل.

Archie