قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

الدوائر و Piالمماس ، الحبال والأقواس

وقت القراءة: ~25 min

لقد تعلمت في الأقسام السابقة الأسماء المعطاة لعدة أجزاء مختلفة من الدائرة - مثل المركز ونصف القطر والقطر والمحيط. ومع ذلك ، هناك العديد من العناصر الهندسية المتعلقة بالدائرة ، والتي سنحتاجها لحل المشكلات المعقدة:

  • القاطع هو خط يتقاطع مع دائرة عند نقطتين.
  • الكورد هو جزء من الخط تقع نقاط نهايته على محيط الدائرة.
  • الظل هو خط يلمس دائرة عند نقطة واحدة بالضبط. وهذا ما يسمى نقطة التماس .
  • القوس هو جزء من محيط الدائرة.
  • القطاع هو جزء من الجزء الداخلي من الدائرة ، ويحده قوس ونصف قطري .
  • أخيرا الجزء هو جزء من الجزء الداخلي من دائرة ، يحده قوس وتر .

في هذا القسم ، سنلقي نظرة على العلاقة بين كل هذه العناصر ، ونثبت النظريات حول خصائصها. لا تقلق بشأن حفظ جميع التعريفات في الوقت الحالي - يمكنك دائمًا استخدام قائمة كلمات .

المماس

قريبا!

الحبال

قريبا!

الأقواس والقطاعات

اتفق معظم العلماء في اليونان القديمة على أن الأرض عبارة عن كرة. كان هناك الكثير من الأدلة: من اختفاء السفن وراء الأفق في البحر ، إلى الحركة الدائرية للنجوم أثناء الليل.

لسوء الحظ ، لم يكن أحد يعرف بالضبط كم كانت الأرض كبيرة - حتى حوالي 200 قبل الميلاد ، عندما وجد عالم الرياضيات إراتوستينس طريقة بارعة لقياس نصف قطر الأرض ، باستخدام الهندسة الأساسية. كل ما نحتاجه هو المزيد من المعرفة حول الأقواس وقطاعات الدائرة.

كما ترون في الرسم البياني ، القوس هو جزء من دائرة ، و القطاع هو جزء من الدائرة.

غالباً ما يكتب القوس بين نقطتين A و B AB . هذا التعريف غامض بعض الشيء: هناك القوس الثاني الذي يربط A و B ولكنه يذهب في الاتجاه الآخر حول الدائرة.

يسمى أصغر القوسين القوس الصغير ، ويسمى القوس الأكبر القوس الرئيسي . إذا كانت النقطتان A و B متقابلتين تمامًا تمامًا ، فإن كلا القوسين لهما نفس الطول وهما .

لإيجاد طول القوس أو مساحة القطاع ، نحتاج إلى معرفة الزاوية المقابلة في مركز الدائرة: وهذا ما يسمى الزاوية المركزية .

لاحظ كيف يأخذ القوس والقطاع والزاوية نفس النسبة من الدائرة الكاملة. على سبيل المثال ، إذا كان الزاوية المركزية ، يستغرق أ دائرة كاملة .

وهذا يعني أن طول القوس أيضا 14 من محيط الدائرة كلة مجال القطاع 14 من كامل مساحة الدائرة.

يمكننا التعبير عن هذه العلاقة في معادلة:

طول القوسمحيط الدائرة=الزاوية المركزية=الزاوية المركزية

يمكننا الآن إعادة ترتيب هذه المعادلات للعثور على أي متغير يهمنا. على سبيل المثال ،

طول القوس=محيط الدائرة×c360
=2πr×c360
منطقة القطاع=منطقة الدائرة×c360
=πr2×c360

حيث r هو نصف قطر الدائرة ، و c هو حجم الزاوية المركزية.

إذا تم قياس الزاوية المركزية بالتقدير الدائري بدلاً من الدرجات ، فيمكننا استخدام نفس المعادلات ، ولكن يجب استبدال 360° بـ :

طول القوس=2πr×c2π
=r×c
منطقة القطاع=πr2×c2π
=12r2c

لاحظ كيف تصبح المعادلات أبسط بكثير ، و π تلغي في كل مكان. هذا لأنه ، كما قد تتذكر ، تعريف الراديان هو في الأساس طول القوس في دائرة نصف قطرها 1.

الآن دعونا نرى كيف يمكننا استخدام الأقواس والقطاعات لحساب محيط الأرض.

في مصر القديمة ، كانت مدينة Swenet تقع على طول نهر النيل. اشتهر Swenet ببئر ذات خاصية غريبة: كانت هناك لحظة واحدة كل عام عندما وصل ضوء الشمس إلى قاع البئر - ظهرًا في 21 يونيو ، يوم الانقلاب الصيفي . في ذلك الوقت الدقيق ، كان الجزء السفلي من البئر مضاءًا ، ولكن ليس جوانبها ، مما يعني أن الشمس كانت تقف فوق البئر مباشرة.

قام قدماء المصريين بقياس مسافات طويلة من خلال حساب عدد الخطوات التي اتخذتها للمشي.

تقول بعض المصادر أن بئر إراتوستينس كان على جزيرة الفنتين على نهر النيل.

عاش عالم الرياضيات إراتوستينس في الإسكندرية ، على بعد حوالي 800 كم شمال سوينت ، حيث كان مديرًا للمكتبة الكبرى. في وسط مدينة الإسكندرية كانت هناك مسلة ، نصب تذكاري طويل وضيق مع قمة على شكل هرم.

لاحظ إراتوستينس أنه في ظهر يوم الانقلاب الصيفي ، ألقت المسلة ظلًا - مما يعني أن الشمس لم تكن فوقها مباشرة. استنتج أن هذا كان بسبب انحناء الأرض ، وأدرك أنه يمكن استخدامه لحساب محيط كوكبنا.

هنا يمكنك رؤية البئر في سوينت وكذلك المسلة في الإسكندرية. تسقط أشعة الشمس مباشرة في البئر ، لكنها تضرب المسلة بزاوية وتلقي بظلالها.

قياس إراتوستينس أن كانت زاوية الظل 7.2 درجة. هذا هو نفس الزاوية المركزية لل قوس من الإسكندرية إلى سوينت ، لأنهم الزوايا .

يمكننا الآن استخدام معادلة طول القوس الذي استخلصناه أعلاه:

طول القوسمحيط الدائرة=°360°

إذا أعدنا ترتيب ذلك ، نجد أن محيط الأرض هو

محيط الدائرة=360°7.2°×800 km=km

أخيرًا ، نعلم أن محيط الدائرة هو C=2πr ، لذلك نصف قطر الأرض

rEarth=40000km2π6400km .

كان قياس إراتوستينس أحد أهم التجارب في العصور القديمة. كان تقديره لحجم الأرض دقيقًا بشكل مدهش ، خاصة عند النظر إلى أنه لم يكن لديه سوى إمكانية الوصول إلى أدوات القياس الأساسية جدًا.

بالطبع ، قد يكون من الصعب ترجمة نتائجه الأصلية إلى وحدات حديثة مثل الكيلومترات. في اليونان القديمة ، تم قياس المسافة في الملاعب (حوالي 160 م) ، ولكن لم يكن هناك معيار عالمي. كان لكل منطقة نسخة مختلفة قليلاً ، ولا نعرف أي واحدة استخدمها إراتوستينس.

في القرون التالية ، حاول العلماء استخدام طرق أخرى لحساب نصف قطر الأرض - أحيانًا بنتائج مختلفة تمامًا وغير صحيحة.

كان أحد هذه القياسات غير الصحيحة هو الذي دفع كريستوفر كولومبوس للإبحار غربًا من البرتغال. وافترض أن الأرض كانت أصغر بكثير مما هي عليه في الواقع ، وأعرب عن أمله في الوصول إلى الهند. في الواقع ، وصل إلى قارة مختلفة بينهما: الأمريكتين.

شرائح

قريبا!