قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

المضلعات والمضلعاتالتغطية بالفسيفساء

وقت القراءة: ~25 min

تظهر المضلعات في كل مكان في الطبيعة. إنها مفيدة بشكل خاص إذا كنت تريد تجانب مساحة كبيرة ، لأنه يمكنك احتواء المضلعات معًا دون أي فجوات أو تداخلات. تسمى مثل هذه الأنماط بالفسيفساء .

قرص العسل

جلد ثعبان سينالوان

التركيب الخلوي للأوراق

أعمدة البازلت في جسر العملاق في أيرلندا الشمالية

بشرة أناناس

قذيفة السلحفاة

نسخ البشر العديد من هذه الأنماط الطبيعية في الفن والهندسة المعمارية والتكنولوجيا - من روما القديمة حتى الوقت الحاضر. وفيما يلي بعض الأمثلة على ذلك:

نمط الرصيف

الدفيئة في مشروع عدن في إنجلترا

فسيفساء في قصر الحمراء

سقف في المتحف البريطاني في لندن

جناح التغطية بالفسيفساء الخلوية في سيدني

دراسة التقسيم المنتظم للطائرة مع الزواحف ، MC Escher

هنا يمكنك إنشاء الفسيفساء الخاصة بك باستخدام المضلعات العادية. ما عليك سوى سحب الأشكال الجديدة من الشريط الجانبي إلى اللوحة القماشية. ما هي الأشكال الفسيفساء بشكل جيد؟ هل هناك أي أشكال لا تكسو على الإطلاق؟ حاول إنشاء أنماط مثيرة للاهتمام!

Examples of other students’ tessellations

فسيفساء من المضلعات العادية

ربما لاحظت أن بعض المضلعات المنتظمة (مثل ) فسيفساء بسهولة جدا ، في حين أن الآخرين (مثل ) لا يبدو فسيفساء على الإطلاق.

يتعلق هذا بحجم الزوايا الداخلية ، التي تعلمنا حسابها من قبل. عند كل قمة في التغطية بالفسيفساء ، تلتقي الزوايا الداخلية للعديد من المضلعات المختلفة. نحتاج إلى كل هذه الزوايا لإضافة درجة ، وإلا سيكون هناك فجوة أو تداخل.

triangles

مثلثات لأن 6 × 60 درجة = 360 درجة.

squares

المربعات لأن 4 × 90 درجة = 360 درجة.

pentagons

لأن مضاعفات 108° لا تساوي 360°.

hexagons

السداسي لأن 3 × 120 درجة = 360 درجة.

يمكنك أيضًا التحقق من ذلك ، تمامًا مثل الخماسي ، فإن أي مضلع عادي به 7 جوانب أو أكثر لا يتم تغطية الأرض. هذا يعني أن المضلعات العادية الوحيدة التي تغطي الفسيفساء هي مثلثات ومربعات وسداسيات!

بالطبع يمكنك الجمع بين أنواع مختلفة من المضلعات العادية في التغطية بالفسيفساء ، بشرط أن تضيف زواياها الداخلية ما يصل إلى 360 درجة:

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons, squares and triangles
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

Octagons and squares
135° + 135° + 90° = 360°

Dodecagons (12-gons) and triangles
150° + 150° + 60° = 360°

Dodecagons, hexagons and squares
150° + 120° + 90° = 360°

فسيفساء من مضلعات غير منتظمة

يمكننا أيضًا تجربة صنع الفسيفساء من المضلعات غير المنتظمة - طالما أننا حريصون عند تدويرها وترتيبها.

اتضح أنه لا يمكنك ترصيع ليس فقط مثلثات متساوية الأضلاع ، ولكن أي مثلث ! حاول تحريك القمم في هذا الرسم البياني.

مجموع الزوايا الداخلية في المثلث هو درجة. إذا استخدمنا كل زاوية في كل قمة في التغطية بالفسيفساء ، نحصل على 360 درجة:

والمثير للدهشة أن أي فسيفساء رباعي أيضًا فسيفساء! مجموع الزاوية الداخلية هو درجة ، لذلك إذا استخدمنا كل زاوية في كل قمة في التغطية بالفسيفساء ، نحصل على 360 درجة.

البنتاغون أصعب قليلاً. لقد رأينا بالفعل أن الخماسي المنتظم ، ولكن ماذا عن تلك غير العادية؟

pentagons-1
pentagons-2
pentagons-3

فيما يلي ثلاثة أمثلة مختلفة للفسيفساء مع الخماسي. إنها ليست منتظمة ، لكنها مضلعات صالحة تمامًا من 5 جوانب.

حتى الآن ، وجد علماء الرياضيات 15 نوعًا مختلفًا من الفسيفساء مع خماسي (محدب) - تم اكتشاف أحدثها في عام 2015. لا أحد يعرف ما إذا كان هناك أي أنواع أخرى ، أو إذا كان هؤلاء الخمسة عشر هم الوحيدون ...

فسيفساء في الفن

Tessellations نحن أداة وإلهام لكثير من الفنانين والمهندسين المعماريين والمصمم - أشهرها الفنان الهولندي MC Escher . يحتوي عمل Escher على مخلوقات وأنماط ومناظر طبيعية غريبة ومتغيرة:

“Sky and Water I” (1938)

“Lizard” (1942)

“Lizard, Fish, Bat” (1952)

“Butterfly” (1948)

“Two Fish” (1942)

“Shells and Starfish” (1941)

غالبًا ما تبدو هذه الأعمال الفنية ممتعة وبلا مجهود ، ولكن المبادئ الرياضية الأساسية هي نفسها كما كانت من قبل: الزوايا والتناوب والترجمات والمضلعات. إذا لم تكن الرياضيات صحيحة ، فإن التغطية بالفسيفساء لن تعمل!

“Metamorphosis II” by M. C. Escher (1940)

تبليط بنروز

جميع الفسيفساء التي رأيناها حتى الآن تشترك في شيء واحد: أنها دورية . هذا يعني أنها تتكون من نمط منتظم يتكرر مرارًا وتكرارًا. يمكن أن تستمر إلى الأبد في جميع الاتجاهات وسوف تبدو متشابهة في كل مكان.

في السبعينيات ، اكتشف عالم الرياضيات والفيزيائي البريطاني روجر بنروز الفسيفساء غير الدورية - لا تزال مستمرة إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات ، لكنها لا تبدو متشابهة تمامًا. تسمى هذه المربعات بنروز ، وتحتاج فقط إلى أنواع مختلفة من المضلعات لإنشاء واحد:

Move the slider to reveal the underlying structure of this tessellation. Notice how you have the same patterns at various scales: the small yellow pentagons, blue stars, orange rhombi and green ‘ships’ appear in their original size, in a slightly larger size and an even larger size. This self-similarity can be used to prove that this Penrose tiling is non-periodic.

كان Penrose يستكشف التغطية بالفسيفساء لمجرد التسلية ، ولكن اتضح أن البنية الداخلية لبعض المواد الحقيقية (مثل الألومنيوم) تتبع نمطًا مشابهًا. تم استخدام النمط حتى على ورق التواليت ، لأن الشركات المصنعة لاحظت أنه يمكن لف النمط غير الدوري دون أي انتفاخات.