قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

مضلعات ومتعددة الوجوهالمضلعات

وقت القراءة: ~30 min

المضلع هو شكل مغلق ومسطح له جوانب مستقيمة فقط. يمكن أن يكون للمضلعات أي عدد من الأضلاع والزوايا ، ولكن لا يمكن تقويس الجوانب. أي من الأشكال أدناه هي مضلعات؟

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

نعطي أسماء مختلفة للمضلعات ، اعتمادًا على عدد الجوانب التي لديهم:

number-3

مثلث
3 جوانب

number-4

رباعي
4 جوانب

number-5

خماسي
5 جوانب

number-6

سداسي
6 جوانب

number-7

سباعي
7 جوانب

number-8

مثمن
8 جوانب

الزوايا في المضلعات

كل مضلع له جوانب n له أيضًا n زوايا الداخلية . نحن نعلم بالفعل أن مجموع الزوايا الداخلية في المثلث دائمًا ° ولكن ماذا عن المضلعات الأخرى؟

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

يبدو أن مجموع الزوايا الداخلية في الرباعي دائمًا ° - بالضبط مجموع الزوايا في المثلث. هذه ليست مصادفة: يمكن تقسيم كل رباعي إلى مثلثين.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

نفس الشيء يعمل مع المضلعات الأكبر حجمًا. يمكننا تقسيم الخماسي إلى مثلثات ، لذا يكون مجموع الزاوية الداخلية 3×180°= °. ويمكننا تقسيم السداسي إلى مثلثات ، بحيث يكون مجموع الزاوية الداخلية 4×180°= °.

مضلع مع ${x} جوانب سيكون مجمع زاوية داخلية 180 ${x-2} = ${(x-2)*180}°. وبشكل أعم، مضلع مع جوانب ن يمكن تقسيمها إلى مثلثات. وبالتالي،

مجموع الزوايا الداخلية في n -gon = n2×180° .

المضلعات المحدبة و المقعرة

نقول أن المضلع المقعر إذا كان يحتوي على قسم "يشير إلى الداخل". يمكنك أن تتخيل أن هذا الجزء "انهار" . تسمى المضلعات غير المقعرة محدبة .

هناك طريقتان يمكنك من خلالهما التعرف بسهولة على المضلعات المقعرة: تحتوي على زاوية داخلية واحدة على الأقل أكبر من 180 ° . ولديهم أيضًا قطر يقع خارج المضلع .

في المضلعات المحدبة ، من ناحية أخرى ، تكون جميع الزوايا الداخلية أقل من ° ، وتقع جميع الأقطار في المضلع.

أي من هذه المضلعات مقعرة؟

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

المضلعات العادية

نقول أن المضلع عادي إذا كانت جميع أضلاعه لها نفس الطول ، وجميع الزوايا لها نفس الحجم. أي من هذه الأشكال هي مضلعات عادية

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

يمكن أن تأتي المضلعات العادية بأحجام مختلفة - ولكن جميع المضلعات العادية التي لها نفس العدد من الجوانب !

نحن نعلم بالفعل مجموع جميع الزوايا الداخلية في المضلعات. بالنسبة للمضلعات العادية ، يكون لجميع هذه الزوايا ، لذا يمكننا تحديد حجم زاوية داخلية واحدة:

زاوية = 180°×x2x=180°360°x .

إذا n=3 نحصل على حجم الزوايا الداخلية لمثلث متساوي الأضلاع - نعلم بالفعل أنه يجب أن يكون °. في مضلع عادي مع ${x} جوانب ، كل زاوية داخلية هي 180 ° - 360 °${x} = ${round(180-360/x)}°.

مساحة المضلعات العادية

هنا يمكنك رؤية مضلع عادي مع ${n} جوهنب. كل جانب له طول 1m . دعونا نحاول حساب مساحتها!

أولاً ، يمكننا تقسيم المضلع إلى ${toWord(n)} متطابقة ، مثلثات قائمة .

نحن نعلم بالفعل هذه المثلثات ، لكننا بحاجة أيضًا إلى لتكون قادرة على حساب مساحتها. في المضلعات العادية ، يسمى هذا الارتفاع في بعض الأحيان تأليه .

لاحظ أن هناك مثلث قائم الزاوية يتشكل من التأليه ونصف قاعدة مثلث متساوي الساقين. هذا يعني أنه يمكننا استخدام علم المثلثات!

الزوايا القاعدة المثلث متساوي الساقين (دعنا نطلق عليها α) هي حجم الزوايا الداخلية للمضلع:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

للعثور على التأليه ، يمكننا استخدام تعريف :

tanα=مقابلمتجاور=

تأليه=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

الآن ، مساحة مثلث متساوي الساقين هي

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

يتكون المضلع من ${toWord(n)} من هذه المثلثات متساوي الساقين ، وجميعها لها نفس المساحة. لذلك ، تكون المساحة الإجمالية للمضلع

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2