قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

فركتلاتمثلث سيربينسكي

وقت القراءة: ~20 min

أحد الفركتلات التي رأيناها في الفصل السابق كان مثلث سيربينسكي ، والذي سمي على اسم عالم الرياضيات البولندي Wacław Sierpiński. يمكن إنشاؤه من خلال البدء بمثلث كبير متساوي الأضلاع ، ثم قطع المثلثات الأصغر من مركزه بشكل متكرر.

Wacław Sierpiński كان أول علماء الرياضيات يفكرون في خصائص هذا المثلث ، لكنه ظهر قبل ذلك بقرون عديدة في الأعمال الفنية والأنماط والفسيفساء.

فيما يلي بعض الأمثلة على بلاط الأرضية من كنائس مختلفة في روما:

كما اتضح ، يظهر مثلث سيربينسكي في مجموعة واسعة من المجالات الأخرى للرياضيات ، وهناك العديد من الطرق المختلفة لتوليدها. في هذا الفصل ، سوف نستكشف بعضها!

مثلث باسكال

قد تتذكر بالفعل مثلث سيربينسكي من فصلنا على مثلث باسكال. هذا هرم عدد فيه كل رقم هو مجموع الرقمين أعلاه. انقر على جميع الأرقام حتى في المثلث أدناه ، لتمييزها - ومعرفة ما إذا لاحظت نمطًا:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1

يمكن أن يستمر مثلث باسكال إلى أسفل إلى الأبد ، وسيستمر نمط سيربينسكي بمثلثات أكبر وأكبر. يمكنك بالفعل رؤية بداية مثلث أكبر ، بدءًا من الصف 16.

إذا كانت هناك خليتان متجاورتان قابلتان للقسمة على 2 ، فيجب أن يكون مجموعهما في الخلية الموجودة أسفله قابلاً للقسمة على 2 - ولهذا السبب لا يمكننا الحصول إلا على مثلثات ملونة (أو خلايا مفردة). بالطبع يمكننا أيضًا محاولة تلوين جميع الخلايا القابلة للقسمة على الأرقام بخلاف 2. ما رأيك سيحدث في تلك الحالات؟

Divisible by ${n}:

هنا يمكنك أن ترى نسخة صغيرة من أول 128 صفًا من مثلث باسكال. لقد سلطنا الضوء على جميع الخلايا القابلة للقسمة على ${n} - ماذا تلاحظ؟

لكل رقم ، نحن نمط مثلث مختلف مشابه لمثلث Sierpinski. يكون النمط عاديًا بشكل خاص إذا اخترنا . إذا كان الرقم يحتوي على _العديد من العوامل الرئيسية المختلفة ، فإن النمط يبدو أكثر عشوائية._

لعبة الفوضى

هنا يمكنك أن ترى القمم الثلاثة لمثلث متساوي الأضلاع. انقر في أي مكان في المنطقة الرمادية لإنشاء نقطة رابعة.

هيا نلعب لعبة بسيطة: نختار أحد رؤوس المثلث بشكل عشوائي ، ونرسم مقطع خط بين نقطتنا والرأس ، ثم نعثر على نقطة المنتصف من ذلك المقطع.

الآن نكرر العملية: نختار قمة عشوائية أخرى ، ونرسم المقطع من نقطتنا الأخيرة ، ثم نعثر على نقطة المنتصف . لاحظ أننا نقوم بتلوين هذه النقاط الجديدة استنادًا إلى لون قمة المثلث الذي اخترناه.

حتى الآن ، لم يحدث شيء مفاجئ - ولكن شاهد بينما نكرر نفس العملية عدة مرات:

تسمى هذه العملية لعبة الفوضى. قد تكون هناك بعض النقاط الضالة في البداية ، ولكن إذا كررت نفس الخطوات عدة مرات ، يبدأ توزيع النقاط في الظهور تمامًا مثل مثلث Sierpinski!

هناك العديد من الإصدارات الأخرى - على سبيل المثال ، يمكن أن نبدأ بمربع أو خماسي ، يمكننا إضافة قواعد إضافية مثل عدم القدرة على تحديد نفس الرأس مرتين على التوالي ، أو يمكننا اختيار النقطة التالية بنسبة بخلاف 12 بطول المقطع. في بعض هذه الحالات ، سنحصل فقط على توزيع عشوائي للنقاط ، ولكن في حالات أخرى ، نكشف عن المزيد من الفركتلات:

Triangle
Square
Pentagon

هل اكتشفت أو بناءً على النسبة الذهبية؟

الأتمتة الخلوية

الأوتار الخلوية عبارة عن شبكة تتكون من العديد من الخلايا الفردية. يمكن أن تكون كل خلية في "حالات" مختلفة (مثل ألوان مختلفة) ، ويتم تحديد حالة كل خلية من خلال الخلايا المحيطة بها.

في مثالنا ، يمكن أن تكون كل خلية إما سوداء أو بيضاء. نبدأ بصف واحد يحتوي فقط على مربع أسود واحد. في كل صف تالٍ ، يتم تحديد لون كل خلية بواسطة الخلايا الثلاث المذكورة أعلاه مباشرةً. انقر على الخيارات الثمانية الممكنة أدناه لقلب لونها - هل يمكنك العثور على مجموعة من القواعد التي تنشئ نمطًا مشابهًا لمثلث Sierpinski؟

هناك خياران لكل خيار من الخيارات الثمانية ، مما يعني أن هناك 28= قاعدة محتملة في المجموع. البعض ، مثل ، يشبه مثلث سيربينسكي. البعض الآخر ، مثل ، تبدو فوضوية تمامًا. تم اكتشافه بواسطة Stephen Wolfram في عام 1983 ، ويمكن لأجهزة الكمبيوتر استخدامها حتى لإنشاء أرقام عشوائية!

تُظهر الأتمتة الخلوية كيف يمكن إنشاء أنماط معقدة للغاية بواسطة قواعد بسيطة جدًا - تمامًا مثل الفركتلات. تتبع العديد من العمليات في الطبيعة أيضًا قواعد بسيطة ، ولكنها تنتج أنظمة معقدة بشكل لا يصدق.

في بعض الحالات ، يمكن أن يؤدي ذلك إلى ظهور أنماط تشبه تمامًا الأتمتة الخلوية ، على سبيل المثال الألوان الموجودة على غلاف هذا الحلزون.

نسيج كونوس ، حلزون البحر السام

سيربينسكي تتراهيدرا

هناك العديد من المتغيرات لمثلث سيربينسكي ، وبعض الفركتلات الأخرى التي لها خصائص مشابهة وعمليات الإنشاء. تبدو بعضها ثنائية الأبعاد ، مثل سجادة سيربينسكي التي رأيتها أعلاه. البعض الآخر يبدو ثلاثي الأبعاد ، مثل هذه الأمثلة:

سيربينسكي تتراهيدرا

هرم سيربينسكي

Archie