فركتلاتمجموعة ماندلبروت

تم إنشاء جميع الفركتلات التي رأيناها في الفصول السابقة باستخدام عملية التكرار: تبدأ بنمط محدد ، ثم تكرره مرارًا وتكرارًا.

هذا مشابه لمفهوم آخر في الرياضيات رأيته من قبل: مع التسلسلات العودية ، تبدأ برقم معين ، ثم تقوم بتطبيق نفس الصيغة العودية ، مرارًا وتكرارًا ، للحصول على الرقم التالي في تسلسل.

لنأخذ الصيغة العودية xn=xn−12 كمثال ونرسم مصطلحاتها على سطر رقمي. يمكنك تغيير قيمة x0:

لاحظ كيف يمكن أن يتصرف التسلسل الناتج بشكل مختلف جدًا ، اعتمادًا على قيمة البداية x0:

حتى الآن ، لم نتعلم أي شيء جديد. ومع ذلك ، منذ ما يقرب من قرن ، بدأ علماء الرياضيات في استكشاف ما يحدث لهذه التسلسلات إذا كنت تستخدم أرقامًا معقدة ، بدلاً من مجرد سطر الأعداد الحقيقية. كانت اكتشافاتهم من أكثر النتائج المفاجئة والجميلة في جميع الرياضيات.

مجموعات جوليا

لنستخدم نفس التسلسل كما كان من قبل ، xn=xn−12 ، ولكن على المستوى المعقد. يمكنك تحريك مركز x0 ، لمعرفة ما يحدث للمصطلحات التالية. إذا كان التسلسل يبدو أنه سيتقارب ، فلنقم بتلوين النقطة المقابلة على المستوى باللون الأزرق:

كما ترى ، يتقارب التسلسل طالما أن x0 تقع داخل دائرة الوحدة خارج ميدان الوحدةفوق x-axis (الدائرة ذات نصف القطر 1 ، متمركزة في الأصل).

الآن دعونا نجعل الأمور أكثر صعوبة. بدلاً من مجرد تربيع الرقم السابق ، نضيف أيضًا ثابتً c ج_ في كل مرة (والذي يمكن أن يكون أي رقم مركب). وبعبارة أخرى ، xn=xn−12+c. هل تعتقد أننا ما زلنا نحصل على دائرة التقارب؟ ما الأشكال الأخرى التي تعتقد أننا قد نراها؟ متابعة

في هذا الرسم البياني ، يمكنك تحريك موضع x0 بالإضافة إلى قيمة c:

تسمى الأشكال المختلفة التي يتم تشكيلها عن طريق التلوين في الأرقام مجموعات جوليا. تم اكتشافها بشكل مستقل من قبل اثنين من علماء الرياضيات الفرنسيين ، غاستون جوليا و بيير فاتو ، حوالي عام 1918.

في ذلك الوقت ، لم تكن هناك أجهزة كمبيوتر للمساعدة في تصور شكل مجموعات جوليا. كان علماء الرياضيات مثل جوليا و فاتو قادرين على التفكير في الرياضيات رياضياً ، لكنهم لم يروا سوى رسومات تقريبية مرسومة باليد لما قد يبدو عليه.

ليس لدينا هذه المشكلة اليوم - الصور أدناه كلها من مجموعات جوليا المختلفة. تشير الألوان المختلفة إلى مدى اختلاف التسلسل عند هذه النقطة:

متابعة

مجموعة ماندلبروت

عند إنشاء مجموعات جوليا المختلفة ، ربما لاحظت وجود بعض قي_c_جالتي يختلف فيها كل تسلسل ، ويظل المستوى المعقد بأكمله أبيض. بعد عقود قليلة من جوليا و فاتو ، حاول جيل جديد من علماء الرياضيات رسم خريطة لهذه المناطق.

في المثال السابق ، اخترنا قيمة ثابتة لـ c ، ثم قمنا بتغيير موضع x0 لتلوين المستوى. فلنصلح الآن قيمة x0=0 ، وبدلاً من ذلك نغير قيمة c.

مرة أخرى ، قم بالطلاء فوق المستوى المعقد لكشف المنطقة التي تظل فيها التسلسلات مقيدة. ما الأشكال التي تتوقع ظهورها؟

xn=xn−12+${complex(c)}

x0=${complex(x0)}

x1=${complex(x1)}

x2=${complex(x2)}

x3=${complex(x3)}

…Bounded!Diverges!

يسمى هذا الفراكتل مجموعة ماندلبروت ، وعندما يدور بزاوية 90 درجة ، يبدو تقريبًا مثل الشخص ، مع الرأس والجسم والذراعين. تم تعريفه ورسمه لأول مرة في عام 1978 ، في ورقة بحثية من قبل علماء الرياضيات روبرت بروكس وبيتر ماتلسكي:

بعد بضع سنوات ، استخدم Benoit Mandelbrot أجهزة الكمبيوتر القوية في IBM لإنشاء تصور أكثر تفصيلاً للفراكتل ، والذي تم تسميته فيما بعد. بدت المطبوعات الأولى مختلفة عما توقعه - حتى أدرك أن الفنيين العاملين في الطابعات كانوا ينظفون "الضبابية" حول حافتها ، بافتراض أن سببها جزيئات الغبار أو أخطاء الطابعة ، وليس سمة مميزة للفركتلات ! متابعة

مثل جميع صور النمطي هندسي متكرر ، يمكننا "تكبير" مجموعة ماندلبروت إلى الأبد ، وإيجاد أنماط جديدة على كل مقياس. هنا يمكنك تكبير جزء من مجموعة ماندلبروت يسمى Seahorse Valley. النقاط السوداء هي داخل مجموعة ماندلبروت ، حيث يكون التسلسل مقيدًا. النقاط الملونة هي خارج مجموعة ماندلبروت ، حيث يتباعد التسلسل ، وتشير الألوان المختلفة إلى أي مدى ينمو بسرعة إلى ما لا نهاية:

Scale: ${pow(scale)}

يتكون شريط التمرير هذا من 27 صورة فردية ، حتى مستوى تكبير يزيد عن 14 كوادريليون ، أو 254. إجمالاً ، استغرق الأمر حوالي 45 دقيقة لعرضه على جهاز كمبيوتر محمول حديث. يمكن إنشاء مجموعة ماندلبروت باستخدام معادلة واحدة بسيطة ، xn=xn−12+c ، ومع ذلك فهي معقدة بشكل لا نهائي وجميلة بشكل مذهل.

أثناء تحريك قيمة c حول مجموعة ماندلبروت ، قد تلاحظ خاصية غريبة:

• تتلاقى جميع التسلسلات داخل الجسم الرئيسي ماندلبروت لمجموعةdivergereach an orbit إلى نقطة واحدة.
• تصل التسلسلات داخل لمبة كبيرة في الأعلى إلى مدارconvergediverge تتكون من نقاط.
• التسلسلات في هذا المصباح الأصغر لها مدارات بطول .

يحتوي كل مصباح على مدار مختلف الحجم ، مع المصابيح الأصغر التي تحتوي على المزيد والمزيد من النقاط في مداراتها. يرتبط حجم هذه المدارات ارتباطًا وثيقًا بـ خريطة لوجستية ، وهو مفهوم مهم في نظرية الفوضى.