قائمة المصطلحات

حدد واحدة من الكلمات الرئيسية على اليسار ...

فركتلاتمجموعة ماندلبروت

وقت القراءة: ~25 min

تم إنشاء جميع الفركتلات التي رأيناها في الفصول السابقة باستخدام عملية التكرار: تبدأ بنمط محدد ، ثم تكرره مرارًا وتكرارًا.

هذا مشابه لمفهوم آخر في الرياضيات رأيته من قبل: مع التسلسلات العودية ، تبدأ برقم معين ، ثم تقوم بتطبيق نفس الصيغة العودية ، مرارًا وتكرارًا ، للحصول على الرقم التالي في تسلسل.

لنأخذ الصيغة العودية xn=xn12 كمثال ونرسم مصطلحاتها على سطر رقمي. يمكنك تغيير قيمة x0:

لاحظ كيف يمكن أن يتصرف التسلسل الناتج بشكل مختلف جدًا ، اعتمادًا على قيمة البداية x0:

إذا كان x0>1 ، فإن التسلسل : يستمر في النمو ، حتى اللانهاية.

إذا كان x0 بين –1 و 1 ، فإن التسلسل .

إذا كان x0<1 ، فإن التسلسل .

حتى الآن ، لم نتعلم أي شيء جديد. ومع ذلك ، منذ ما يقرب من قرن ، بدأ علماء الرياضيات في استكشاف ما يحدث لهذه التسلسلات إذا كنت تستخدم أرقامًا معقدة ، بدلاً من مجرد سطر الأعداد الحقيقية. كانت اكتشافاتهم من أكثر النتائج المفاجئة والجميلة في جميع الرياضيات.

مجموعات جوليا

لنستخدم نفس التسلسل كما كان من قبل ، xn=xn12 ، ولكن على المستوى المعقد. يمكنك تحريك مركز x0 ، لمعرفة ما يحدث للمصطلحات التالية. إذا كان التسلسل يبدو أنه سيتقارب ، فلنقم بتلوين النقطة المقابلة على المستوى باللون الأزرق:

xn=xn12
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Converges!Diverges!

كما ترى ، يتقارب التسلسل طالما أن x0 تقع (الدائرة ذات نصف القطر 1 ، متمركزة في الأصل).

الآن دعونا نجعل الأمور أكثر صعوبة. بدلاً من مجرد تربيع الرقم السابق ، نضيف أيضًا ثابتً c ج_ في كل مرة (والذي يمكن أن يكون أي رقم مركب). وبعبارة أخرى ، xn=xn12+c. هل تعتقد أننا ما زلنا نحصل على دائرة التقارب؟ ما الأشكال الأخرى التي تعتقد أننا قد نراها؟

في هذا الرسم البياني ، يمكنك تحريك موضع x0 بالإضافة إلى قيمة c:

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!
نحن نعلم بالفعل ما يحدث إذا - هذا هو نفس المثال أعلاه. تقارب التسلسل طالما أن x0 تقع داخل دائرة الوحدة.
بمجرد تغيير قيمة c ، يحدث شيء رائع. تتحول الدائرة إلى شكل كسوري معقد للغاية.
عندما ، ينقسم الشكل إلى عدد لا نهائي من العناصر الدقيقة مرتبة بشكل حلزوني.

في بعض الحالات ، لا يتقارب التسلسل إلى نقطة مفردة - بدلاً من ذلك يصل إلى دورة من نقاط متعددة ، مثل المثلث. تسمى هذه الدورات مدارات.

النقاط الملونة باللون الأزرق تعني أن التسلسل المقابل إما يتقارب أو يحتوي على مدار (نقول أنه يحده). تعني النقاط التي يتم تركها باللون الأبيض أن التسلسل المقابل __يختلف عن 591}: فهو غير مقيد ، وينفجر في النهاية إلى ما لا نهاية.

ماذا يمكنك أن تجد؟ ألق نظرة على الأنماط عند أو عند . هناك أيضًا بعض قيم c حيث يتباعد كل تسلسل ، لذلك يظل السطح المعقد بأكمله أبيض.

تسمى الأشكال المختلفة التي يتم تشكيلها عن طريق التلوين في الأرقام مجموعات جوليا. تم اكتشافها بشكل مستقل من قبل اثنين من علماء الرياضيات الفرنسيين ، غاستون جوليا و بيير فاتو ، حوالي عام 1918.

في ذلك الوقت ، لم تكن هناك أجهزة كمبيوتر للمساعدة في تصور شكل مجموعات جوليا. كان علماء الرياضيات مثل جوليا و فاتو قادرين على التفكير في الرياضيات رياضياً ، لكنهم لم يروا سوى رسومات تقريبية مرسومة باليد لما قد يبدو عليه.

ليس لدينا هذه المشكلة اليوم - الصور أدناه كلها من مجموعات جوليا المختلفة. تشير الألوان المختلفة إلى مدى اختلاف التسلسل عند هذه النقطة:

c=0.701760.3842i

c=0.4+0.6i

c=0.285+0.01i

مجموعة ماندلبروت

عند إنشاء مجموعات جوليا المختلفة ، ربما لاحظت وجود بعض قيcجالتي يختلف فيها كل تسلسل ، ويظل المستوى المعقد بأكمله أبيض. بعد عقود قليلة من جوليا و فاتو ، حاول جيل جديد من علماء الرياضيات رسم خريطة لهذه المناطق.

في المثال السابق ، اخترنا قيمة ثابتة لـ c ، ثم قمنا بتغيير موضع x0 لتلوين المستوى. فلنصلح الآن قيمة x0=0 ، وبدلاً من ذلك نغير قيمة c.

مرة أخرى ، قم بالطلاء فوق المستوى المعقد لكشف المنطقة التي تظل فيها التسلسلات مقيدة. ما الأشكال التي تتوقع ظهورها؟

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!

يسمى هذا الفراكتل مجموعة ماندلبروت ، وعندما يدور بزاوية 90 درجة ، يبدو تقريبًا مثل الشخص ، مع الرأس والجسم والذراعين. تم تعريفه ورسمه لأول مرة في عام 1978 ، في ورقة بحثية من قبل علماء الرياضيات روبرت بروكس وبيتر ماتلسكي:

بعد بضع سنوات ، استخدم Benoit Mandelbrot أجهزة الكمبيوتر القوية في IBM لإنشاء تصور أكثر تفصيلاً للفراكتل ، والذي تم تسميته فيما بعد. بدت المطبوعات الأولى مختلفة عما توقعه - حتى أدرك أن الفنيين العاملين في الطابعات كانوا ينظفون "الضبابية" حول حافتها ، بافتراض أن سببها جزيئات الغبار أو أخطاء الطابعة ، وليس سمة مميزة للفركتلات !

مثل جميع صور النمطي هندسي متكرر ، يمكننا "تكبير" مجموعة ماندلبروت إلى الأبد ، وإيجاد أنماط جديدة على كل مقياس. هنا يمكنك تكبير جزء من مجموعة ماندلبروت يسمى Seahorse Valley. النقاط السوداء هي داخل مجموعة ماندلبروت ، حيث يكون التسلسل مقيدًا. النقاط الملونة هي خارج مجموعة ماندلبروت ، حيث يتباعد التسلسل ، وتشير الألوان المختلفة إلى أي مدى ينمو بسرعة إلى ما لا نهاية:

Scale: ${pow(scale)}

يتكون شريط التمرير هذا من 27 صورة فردية ، حتى مستوى تكبير يزيد عن 14 كوادريليون ، أو 254. إجمالاً ، استغرق الأمر حوالي 45 دقيقة لعرضه على جهاز كمبيوتر محمول حديث. يمكن إنشاء مجموعة ماندلبروت باستخدام معادلة واحدة بسيطة ، xn=xn12+c ، ومع ذلك فهي معقدة بشكل لا نهائي وجميلة بشكل مذهل.

أثناء تحريك قيمة c حول مجموعة ماندلبروت ، قد تلاحظ خاصية غريبة:

  • تتلاقى جميع التسلسلات داخل الجسم الرئيسي ماندلبروت إلى نقطة واحدة.
  • تصل التسلسلات داخل لمبة كبيرة في الأعلى تتكون من نقاط.
  • التسلسلات في هذا المصباح الأصغر لها مدارات بطول .

يحتوي كل مصباح على مدار مختلف الحجم ، مع المصابيح الأصغر التي تحتوي على المزيد والمزيد من النقاط في مداراتها. يرتبط حجم هذه المدارات ارتباطًا وثيقًا بـ خريطة لوجستية ، وهو مفهوم مهم في نظرية الفوضى.

كرس برنويت ماندلبروت معظم حياته لدراسة الفركتلات ، بالإضافة إلى رياضيات الخشونة و التشابه الذاتي. كان لعمله تطبيقات في الفيزياء والأرصاد الجوية وعلم الأعصاب والاقتصاد والجيولوجيا والهندسة وعلوم الكمبيوتر والعديد من المجالات الأخرى.

في عام 1985 ، ظهرت مجموعة ماندابروت على غلاف مجلة Scientific American ، ومنذ ذلك الحين أصبحت واحدة من أكثر الأشكال الرياضية التي يمكن التعرف عليها في العالم. يمكنك العثور عليها على القمصان وفي مقاطع الفيديو الموسيقية وكحافظات للشاشة ، وقد تمت الإشارة إليها في العديد من الكتب والأفلام الشائعة.